Studio di funzione in due variabili con modulo
Salve a tutti, tra qualche giorno dovrò sostenere l'esame di Analisi II e mi sono imbattuto nel seguente esercizio che è stato proposto dal mio professore all'appello di Luglio:
Data la funzione $ f:Esube R^2rarr R, f(x,y):=|cos(xy)|(x2 + y2)$ determinare:
a) insieme di definizione $ Esube R^2 $ , estremo superiore e inferiore di f in E e $ f(E) $ ;
b) i punti di stazionarietà nell'insieme $ A :={(x, y)in R^2| −Pi/3
In sostanza la mia perplessità sta tutta nel comprendere come trattare il modulo della funzione $ cos(xy) $ , in ogni caso ho pensato di procedere nel seguente modo:
a) $ E-= R^2 $
$ lim_(x -> oo )f(x,0)=+oo $ e $ lim_(y -> oo )f(0,y)=+oo $ $ rArr $ sup$ f(x,y)=oo $
Ho incontrato le prime difficoltà nel determinare se la funzione avesse o meno estremo inferiore e quindi non sono riuscito a determinare con esattezza il valore di $ f(E) $ .
Qualcuno sa come aiutarmi nel determinare inf $ f(E) $ e quindi $ f(E) $ ?
b) Per la funzione data in E ho pensato di analizzare preliminarmente il valore di $ cos(xy) $, da cui ho ricavato che:
$ cos(t)>0 $ $ AAx|-Pi/2
Allora, restringendo il campo di analisi all'insieme A dato, si ha:
$ cos(x)>0 $ $ AAx|-Pi/3
L'idea che avevo era quella di dividere la mia funzione in due funzioni separate, e cioè:
$ f(x,y)'=cos(xy)(x^2+y^2) $ e $ f(x,y)''=-cos(xy)(x^2+y^2) $
e, in tal caso procedere con il calcolo delle derivate parziali per entrambe, arrivando ad un lungo e dispendioso lavoro di calcolo.
Non che io sia uno sfaticato ma non credo possibile che in 40 minuti si possa risolvere agevolmente un esercizio di questo genere, pertanto volevo sapere se qualcuno aveva qualche suggerimento da dare e se, nel caso, potevo procedere con le derivate parziali direttamente sulla funzione con modulo.
Grazie in anticipo,
Eugenio.
Data la funzione $ f:Esube R^2rarr R, f(x,y):=|cos(xy)|(x2 + y2)$ determinare:
a) insieme di definizione $ Esube R^2 $ , estremo superiore e inferiore di f in E e $ f(E) $ ;
b) i punti di stazionarietà nell'insieme $ A :={(x, y)in R^2| −Pi/3
In sostanza la mia perplessità sta tutta nel comprendere come trattare il modulo della funzione $ cos(xy) $ , in ogni caso ho pensato di procedere nel seguente modo:
a) $ E-= R^2 $
$ lim_(x -> oo )f(x,0)=+oo $ e $ lim_(y -> oo )f(0,y)=+oo $ $ rArr $ sup$ f(x,y)=oo $
Ho incontrato le prime difficoltà nel determinare se la funzione avesse o meno estremo inferiore e quindi non sono riuscito a determinare con esattezza il valore di $ f(E) $ .
Qualcuno sa come aiutarmi nel determinare inf $ f(E) $ e quindi $ f(E) $ ?
b) Per la funzione data in E ho pensato di analizzare preliminarmente il valore di $ cos(xy) $, da cui ho ricavato che:
$ cos(t)>0 $ $ AAx|-Pi/2
Allora, restringendo il campo di analisi all'insieme A dato, si ha:
$ cos(x)>0 $ $ AAx|-Pi/3
L'idea che avevo era quella di dividere la mia funzione in due funzioni separate, e cioè:
$ f(x,y)'=cos(xy)(x^2+y^2) $ e $ f(x,y)''=-cos(xy)(x^2+y^2) $
e, in tal caso procedere con il calcolo delle derivate parziali per entrambe, arrivando ad un lungo e dispendioso lavoro di calcolo.
Non che io sia uno sfaticato ma non credo possibile che in 40 minuti si possa risolvere agevolmente un esercizio di questo genere, pertanto volevo sapere se qualcuno aveva qualche suggerimento da dare e se, nel caso, potevo procedere con le derivate parziali direttamente sulla funzione con modulo.
Grazie in anticipo,
Eugenio.
Risposte
scusa se ti rispondo solo per $f(E)$ ma adesso non ho molto tempo
hai a che fare con una funzione non negativa la cui restrizione sull'asse $y$(ad esempio) è la funzione $g(y)=y^2$
già questo penso che basti per dire che $f(E)=[0,+infty)$
hai a che fare con una funzione non negativa la cui restrizione sull'asse $y$(ad esempio) è la funzione $g(y)=y^2$
già questo penso che basti per dire che $f(E)=[0,+infty)$
"quantunquemente":
scusa se ti rispondo solo per $f(E)$ ma adesso non ho molto tempo
hai a che fare con una funzione non negativa la cui restrizione sull'asse $y$(ad esempio) è la funzione $g(y)=y^2$
già questo penso che basti per dire che $f(E)=[0,+infty)$
Ma ci sono comunque dei valori di $y$ che rendono $ cos(xy) $ negativo, a meno che per restrizione non intendi considerare $ x=0 $ .
sì,ma il coseno si trova in un bel valore assoluto
"quantunquemente":
sì,ma il coseno si trova in un bel valore assoluto
Giustissimo!
Quindi considerando il fatto che $ -1<=cos(t)<=1 AAtinR $ , si avrà: $ 0<=|cos(t)|<=1 AAtinR $ . Concludiamo che $ f(E)=[0,oo ) $ .
Procedendo con la seconda parte dell'esercizio, non ho potuto che dividere la funzione in due funzioni distinte:
I: $ cos(xy)(x^2+y^2) $ per $ (x,y)in(-pi/2<=xy<=pi/2)nn A $
II: $ -cos(xy)(x^2+y^2) $ per $ (x,y)in(pi/2<=xy<=3pi/2)nn A $
e procedere con le derivate parziali. Il problema è il seguente: le derivate parziali non sono umanamente calcolabili. Che fare?
A me non sembrano così complicate.
\begin{align} \frac{d}{dx}\Bigl[\cos(xy)(x^2+y^2)\Bigr] &= \frac{d \cos(xy)}{dx}(x^2+y^2) + \cos(xy)\frac{d(x^2+y^2)}{dx} \\
&= -y\sin(xy)(x^2+y^2) + 2x\cos(xy) \\
\end{align}
In versione più generale lo puoi scrivere come \(\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[\bigl\lvert\cos(xy)\bigr\lvert(x^2+y^2)\Bigr] = \mathrm{sgn}\bigl(\cos(xy)\bigr)\Bigl[-y\sin(xy)(x^2+y^2) + 2x\cos(xy)\bigr]\)
Dalla simmetria tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) è evidente che l'altra derivata parziale si ottiene semplicemente scambiando \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle y \) nella formula precedente.
\begin{align} \frac{d}{dx}\Bigl[\cos(xy)(x^2+y^2)\Bigr] &= \frac{d \cos(xy)}{dx}(x^2+y^2) + \cos(xy)\frac{d(x^2+y^2)}{dx} \\
&= -y\sin(xy)(x^2+y^2) + 2x\cos(xy) \\
\end{align}
In versione più generale lo puoi scrivere come \(\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[\bigl\lvert\cos(xy)\bigr\lvert(x^2+y^2)\Bigr] = \mathrm{sgn}\bigl(\cos(xy)\bigr)\Bigl[-y\sin(xy)(x^2+y^2) + 2x\cos(xy)\bigr]\)
Dalla simmetria tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) è evidente che l'altra derivata parziale si ottiene semplicemente scambiando \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle y \) nella formula precedente.
"vict85":
A me non sembrano così complicate.
\begin{align} \frac{d}{dx}\Bigl[\cos(xy)(x^2+y^2)\Bigr] &= \frac{d \cos(xy)}{dx}(x^2+y^2) + \cos(xy)\frac{d(x^2+y^2)}{dx} \\
&= -y\sin(xy)(x^2+y^2) + 2x\cos(xy) \\
\end{align}
In versione più generale lo puoi scrivere come \(\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[\bigl\lvert\cos(xy)\bigr\lvert(x^2+y^2)\Bigr] = \mathrm{sgn}\bigl(\cos(xy)\bigr)\Bigl[-y\sin(xy)(x^2+y^2) + 2x\cos(xy)\bigr]\)
Dalla simmetria tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) è evidente che l'altra derivata parziale si ottiene semplicemente scambiando \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle y \) nella formula precedente.
Colpa mia che non ho considerato direttamente la derivata del modulo. Grazie mille. Ora mi è tutto più chiaro.
"vict85":
A me non sembrano così complicate.
\begin{align} \frac{d}{dx}\Bigl[\cos(xy)(x^2+y^2)\Bigr] &= \frac{d \cos(xy)}{dx}(x^2+y^2) + \cos(xy)\frac{d(x^2+y^2)}{dx} \\
&= -y\sin(xy)(x^2+y^2) + 2x\cos(xy) \\
\end{align}
In versione più generale lo puoi scrivere come \(\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[\bigl\lvert\cos(xy)\bigr\lvert(x^2+y^2)\Bigr] = \mathrm{sgn}\bigl(\cos(xy)\bigr)\Bigl[-y\sin(xy)(x^2+y^2) + 2x\cos(xy)\bigr]\)
Dalla simmetria tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) è evidente che l'altra derivata parziale si ottiene semplicemente scambiando \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle y \) nella formula precedente.
Scusa ancora, ma a me pare proprio che:
$ d/dx|cos(xy)|(x^2+y^2)=sgn(cos(xy))(-ysen(xy)(x^2+y^2))+2x|cos(xy)| $
E con la funzione segno come mi comporto? Potrei distinguere il suo valore al variare di x e y ma mi sembra un procedimento alquanto lungo, mentre se procedo con la derivata al secondo ordine non so come comportarmi non avendogli assegnato un valore..
Devo dire che è stata una svista fortunata. Nel senso che sbagliando ho comunque scritto la formula corretta. Infatti risulta che \(\displaystyle \mathrm{sgn}(f)f = \lvert f\rvert \).
Considera \(\displaystyle \mathrm{sgn}(f) \) come una costante. Infatti ha derivata nulla “quasi ovunque” (ovvero in ogni punto in cui la funzione \(\displaystyle f \) non si annulla).
Considera \(\displaystyle \mathrm{sgn}(f) \) come una costante. Infatti ha derivata nulla “quasi ovunque” (ovvero in ogni punto in cui la funzione \(\displaystyle f \) non si annulla).
"vict85":
Devo dire che è stata una svista fortunata. Nel senso che sbagliando ho comunque scritto la formula corretta. Infatti risulta che \(\displaystyle \mathrm{sgn}(f)f = \lvert f\rvert \).
Considera \(\displaystyle \mathrm{sgn}(f) \) come una costante. Infatti ha derivata nulla “quasi ovunque” (ovvero in ogni punto in cui la funzione \(\displaystyle f \) non si annulla).
Non capisco dove applicarla, cioè ho la funzione $ sgn(f) $ ma non moltiplica direttamente $ f $ . Se considerassi la funzione $ sgn(f) $ come una costante $ n $ potrei scrivere:
$ d/dxf(x,y)=n(-ysen(xy))(x^2+y^2)+2x|cos(xy)| $ e $ d/dyf(x,y)=n(-ysen(xy))(x^2+y^2)+2y|cos(xy)| $
ma anche in questo caso non credo di avere tutti gli strumenti adatti per studiare il gradiente di $ f $ . Mentre per le derivate di secondo ordine non ci sarebbero problemi in quanto considererei $ n $ come costante e ricaverei:
$ d^2/dx^2f(x,y)=n[(-y^2cos(xy))(x^2+y^2)+(-ysen(xy)(2x))]+2|cos(xy)|+2xsgn(cos(xy))(-ysen(xy)) $
$ d^2/dy^2f(x,y)=n[(-sen(xy)-ycos(xy))(x^2+y^2)+(-ysen(xy)(2y))]+2xsgn(cos(xy))(-ysen(xy)) $
$ d^2/(dxdy)f(x,y)=n[(-sen(xy))(x^2+y^2)+(-ysen(xy)(2y))]+2xsgn(cos(xy))(-ysen(xy)) $
$ d^2/(dydx)f(x,y)=n[(-sen(xy)-xcos(xy))(x^2+y^2)+(-xsen(xy)(2y))]+2ysgn(cos(xy))(-ysen(xy)) $
Spero solo di aver fatto i calcoli giusti. Credo che la vera difficoltà che sto incontrando è individuare i punti critici tenendo conto del valore di $ sgn(cos(xy)) $ e $ |cos(xy)| $ .
C'è un errore nel calcolo delle derivate di secondo ordine, il giusto calcolo è il seguente:
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