Studio di funzione in due variabili

[lepre561]

chiedo già scusa se il mio esercizio posso essere un po lunghetto ma cerco di fare un unico post con più dubbi invece che piu post con singoli dubbi


Assegnata la funzione

$f(x,y)={(y^3-3xy^2)/(x^2+3y^2)} $per $(x,y)!=(0,0)$

mentre $0$ per $(x.y)=(0,0)$

studiarne la continuità

impongo che

$lim_((x,y)to(0,0))f(x,y)=f(0,0)$

passando alle cordinate polari ottengo

$lim_(alphato0+) (alpha^3(sin^3theta)-3alpha^3(costhetasin^theta))/(3alpha^2)=0$

ecco il mio primo dubbio è lecito mettere $alphato0+$


derivabilità
per studiare la derivabilità devo far vedere che esistono le derivate parziali

$lim_(deltaxto0)((f0+deltax;0)-f(0,0))/(deltax)=lim_(deltaxto0)0/(deltax^2)=0=f'x(0,0)$


$lim_(deltayto0)((f0;0+deltay)-f(0,0))/(deltay)=lim_(deltaxto0)(deltay^3)/(3deltay^2)=0=f'y(0,0)$

secondo dubbio vi trovate che le derivate parziali sono 0?


differenziabilità

applico la definizione di differenziabilità

$lim_(PtoP_0)(f(P)-f(P_0)-(f'x(0,0)-f'y(0,0)))/(PP_0)$

$lim_((x,y)to(0,0))((y^3-3xy^2)/(x^2+3y^2))/(sqrt(x^2+y^2))$

passando alle coordinate polari

$lim_(alphato0+)(alpha^3(sin^3theta)-3alpha^3(costhetasin^2theta))/(3alpha^3)!=0$

siccome è diverso da zero non è differenziabile

se fino adesso è fatto tutto bene(lo spero) arriviamo all'ultima richiesta

Calcolare la derivata direzionale nella direzione $lambda=(1,1)$

pero giacche per calcolare il la derivata direzionale è $f'x(0,0)*1+f'y(0,0)*1$ vi trovate che la derivata direzionale è zero

Mi sembra troppo banale e per questo credo che ci sia qualche errore precedentemente


Inoltre siccome la funzione è sia continua e ammette anche le derivate parziali è possibile che non sia differenziabile?

[lepre561]

Allora il primo limite fa $0$ perché raccogliendo $alpha$ mi rimane $alpha$ al numeratore che tende a zero

D'accordo che il limite della differenziabilità proprio non esiste ma la condizione affinché sia differenziabile è che deve essere 0?

Quindi per la derivata direzionale devo applicare il limite?

[Bokonon]

"arnett":
No, non puoi applicare la formula del gradiente a una funzione che non è differenziabile.

Non lo è in (0,0) ma la derivata direzionale è definita ed esiste in qualsiasi altro intorno.

@Lepre Se ti danno una direzione, devi trasformarla in un versore, quindi $(1,1)$ diventa $(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$

[lepre561]

Come faccio a dire che è definita in qualsiasi altro intorno?

[Bokonon]

Un altro modo per dire che una funzione è differenziabile è che esista la derivata direzionale in ogni punto...e siccome appunto non esiste in (0,0), allora la funzione non è differenziabile.
Questo non significa che non puoi scriverla, anzi è il contrario ti pare?
Scrivila e POI guarda se oltre all'origine vi sono altri punti in cui non è definita.

[dissonance]

"Bokonon":Un altro modo per dire che una funzione è differenziabile è che esista la derivata direzionale in ogni punto...e siccome appunto non esiste in (0,0), allora la funzione non è differenziabile.

Questa è una condizione solo sufficiente. Esistono funzioni non differenziabili che però ammettono tutte le derivate direzionali. In ogni caso, è vero che se una funzione non ammette una derivata direzionale allora non è differenziabile.

se ti danno una direzione devi trasformarla in un versore

E' un uso tipico dell'ingegneria ma non è necessario. Anzi, tutta la geometria differenziale si basa proprio sull'identificazione dei vettori con le derivate; TUTTI i vettori, non solo i versori.

[Bokonon]

@Dissonance
esattamente, lo intendevo in quel senso.

Per il versore, non complicargli la vita! Sai bene quanto me che lo userà anche per calcolare la pendenza e se non è un versore allora ne altera la magnitudine.

[dissonance]

"Bokonon":@Dissonance
esattamente, lo intendevo in quel senso.

Per il versore, non complicargli la vita! Sai bene quanto me che lo userà anche per calcolare la pendenza e se non è un versore allora ne altera la magnitudine.

[ot]appunto, è per non complicare la vita aggiungendo inutili radici quadrate.[/ot]

[lepre561]

"arnett":[quote="lepre561"]Allora il primo limite fa $0$ perché raccogliendo $alpha$ mi rimane $alpha$ al numeratore che tende a zero

E $\theta$?

Quindi per la derivata direzionale devo applicare il limite?

Sì.[/quote]

Ma pure con il limite sempre 0 mi viene?

Quindi se viene 0 la derivata è definita in qualsiasi altro intorno?

[lepre561]

Se faccio il limite per $tto0$ mi viene zero...che valenza ha nel mio esercizio?

[lepre561]

Non è che li trascuro ma siccome possono oscillare solo $-1$ $1$ se moltiplico per 0 mi verrà sicuramente zero

Sbaglio?

Però io ancora devo capire cosa succede alla derivata direzionale

[lepre561]

Ok ho fatto il limite...viene 0 che scrivo che la derivata direzionale è zero oppure questo ha un significato più ampio?

[lepre561]

Ho ricontrollato il limite per caso ti viene $-1$?

[lepre561]

$lim_(tto0) ((t^3-3t^3)/(2t^2))/t$
E quindi mi viene $-1$

Sbaglio?

[lepre561]

Nono è $lim_(Tto0)$

Ok ho capito non avevo normalizzato

[lepre561]

"arnett":Sì. Hai due strade:
1. Impostare il limite lungo la direzione data dal versore $(1/\sqrt2, 1/sqrt2)$:

$\lim_{t\to 0} ((t/\sqrt2)^3-3 (t/\sqrt2)^3)/((t/sqrt2)^2+3(t/sqrt2)^2)=-2^{-3/2}$.

2. Impostare il limite lungola direzione data dal vettore $(1, 1)$, come diceva dissonance, e poi riscalare il risultato di un fattore $\sqrt2=||((1, 1))||$. Tu inizi con questa, ma chiaramente $1+3=4$ (e non due) e poi non riscali il risultato.

Ma poi cosa sarebbe $lim_{o0}$? Perché mi viene lo sgradevole dubbio che tu stia facendo un limite a infinito se scrivi così.

scusa se ritorno su questo esercizio dopo un'pò di tempo però non riesco a capire la risoluzione del limite

la formula generale non è questa $lim_(Tto0)( f(x_0+tcostheta_1,y_0+tcostheta_2)-f(x_0,y_0))/t$

per considerando questa formula e sostituendo i valori normallizati non mi trovo con il tuo limite cioè il denominatore della formula dove finisce?

[lepre561]

Inoltre non riesco a capire il tuo denominatore cioè da dove esce $3(t/sqrt2)^2$ cioè la mia funzione è $y^2$

[lepre561]

nel senso che la funzione è $(y^3-3xy^2)/(x^2+y^2)$

ora analizzando solo il denominatore andando a sostituire dovrebbe venire $(t/sqrt2)^2+(t/sqrt2)^2$

perchè a te c'è quel 3 in più?