Studio di funzione in due variabili

[pr0wner]

$ f(x,y) = root(3)( (|3x+y| (x+y))^5 ) $

Stabilire se f è differenziabile nel punto (1,1);
Data la curva $ g(t) = (t^2; t + 1)$ con $ t € [0; 2]; $ determinare, se esiste, la
derivata direzionale di f nel punto (1; 1); lungo la direzione $ v = g ' (1). $


Qualcuno potrebbe darmi una mano?? Non so proprio come iniziare..

[vict85]

Considerando che sei lontano dai punti in cui \(\langle 3x + y\rangle\) è nullo direi che puoi tranquillamente lavorare con \((3x+y)\). Perciò, in un intorno di \((1,1)\) tutte le funzioni in gioco sono differenziabili e quindi hai a che fare con la composizione di funzioni differenziabili.

[pr0wner]

Dovrei calcolare anche i minimi e i massimi relativi, qualcuno mi da una mano?

Allora, ho calcolato fx ed fy cosi:

$fx = 5/3 * (|3x+y|/x+y) ^ (2/3) * [ (3 |3x+y|/(3x+y)) * (x+y) + |3x+y| ] = 0 $

$fy = 5/3 * (|3x+y|/x+y) ^ (2/3) * [ (|3x+y|/(3x+y)) * (x+y) + |3x+y| ] = 0 $

mi ritrovo con
$y=-3x$
$y=-x$
$y=-2x$

Facendo $f(x,y) - f(P) >= 0$ per i primi due luoghi trovo che sono punti di massimo, ma per il terzo? Wolfram non me lo nomina neanche..
E poi esce anche un punto $A(0,0)$, come capisco se è di massimo o di minimo? Non nominatemi l'hessiana per favore

[gio73]

Ciao,

per le derivate preferisco sdoppiare il valore assoluto e lavorare su due funzioni
Fatto ciò trovo che la $f_x) si annulla lungo le seguenti rette:
$y=-3/2x$
$y=-x$
$y=-3x$
mentre la $f_y$ si annulla lungo queste rette
$y=-2x$
$y=-3x$
$y=-x$

Concludo che i punti nei quali si annullano contemporaneamente le derivate parziali sono quelli che costiutiscono le rette

$y=-x$
$y=-3x$

noto che l'origine è l'intersezione di queste rette, come anche delle rette $y=-3/2x$ e $y=-2x$

per stabilire la natura di questi punti senza derivare ulteriormente suggerisco di fare uno studio del segno.
Cosa ne pensi?