Studio di funzione $f(x)=log(x/log(1+x))$
Salve a tutti, il mio prof ha lasciato uno studio di una funzione trascendente che è da giorni che ci provo, ma non riesco a risolverla. Il vero problema è studiare la monotonia, e va fatto senza usare il confronto grafico ma altri strumenti che l' analisi ci ha dato 
anche perchè sennò ci vorebbero 3 ore. Ecco la funzione in questione:
$f(x)=log(x/log(1+x))$
La funzione è continua e nulla nell' origine, quindi $D:x> -1$
Inoltre è anche derivabile nell' origine e la sua derivata vale $1$. Non ci sono asintoti se non un verticale a meno infininto per $x->-1$. Dovrei applicare Lagrange ma non so proprio da dove iniziare. Qualche idea?
P.S. odio i professori che lasciano queste cose senza averle nemmeno spiegate.
anche perchè sennò ci vorebbero 3 ore. Ecco la funzione in questione:$f(x)=log(x/log(1+x))$
La funzione è continua e nulla nell' origine, quindi $D:x> -1$
Inoltre è anche derivabile nell' origine e la sua derivata vale $1$. Non ci sono asintoti se non un verticale a meno infininto per $x->-1$. Dovrei applicare Lagrange ma non so proprio da dove iniziare. Qualche idea?
P.S. odio i professori che lasciano queste cose senza averle nemmeno spiegate.
Risposte
per evitarvi i calcoli(mi serve solo questo) la derivata prima è $f(x)'=1/x -1/((1+x)lg(1+x))$ e vale 1 nell' origine.
Inutile fare confronto grafico...vengono altri 4 studi di funzione da fare con il confronto...
Wolfram mi dice che è sempre crescente (questo l' avevo già intuito).
Qualche idea? qualche teorema miracoloso?
Inutile fare confronto grafico...vengono altri 4 studi di funzione da fare con il confronto...
Wolfram mi dice che è sempre crescente (questo l' avevo già intuito).
Qualche idea? qualche teorema miracoloso?
Penso che per studiare la monotonia tu abbia due possibilità:
1) puoi svolgere bene i calcoli della derivata prima e far vedere in qualche modo che non ci sono punti stazionari.
Non ti serve mostrare "a mano" che è crescente! Lo puoi dedurre direttamente dal fatto che:
- la funzione in questione ha i limiti e il dominio che hai detto (nota: la funzione è prolungabile con continuità in x=0 ed è perciò contintua).
- non ha punti staionari
Quindi è monotona crescente.
Questo è un metodo che ho provato e mi sembra funzioni.
Verifico quindi che non ci sono punti stazionari imponendo che la derivata prima sia uguale a zero
Alla fine della derivata prima io sono riuscito ad ottenere:
$1+x=e^((x-1)/x)$
Facciamo vedere che non vale per alcun x.
Per x che tende a zero da destra il secondo membro è 0, per x che tende a zero da sinistra tende a + infinito. In ambo i casi il primo membro è 1. Assurdo!
Se $x<0$ il primo membro è minore di 1 e il secondo membro è maggiore di $e^2$. Assurdo!
Se $0<=x<=1$ il primo membro è compreso tra uno (escluso) e due e il secondo membro è compreso tra zero (escluso) e uno (incluso). Assurdo!
Se $x>1$ il primo membro è maggiore di due (escluso) e va a infinito. Il secondo membro sarà invece compreso tra 1 ed $e$. A rigore dovremmo proprio far vedere le due curve in questione non si incontrano mai. Con un'analisi un po' attenta (utilizzando le derivate seconde) penso si possa far vedere senza troppe difficoltà. Io non ne avevo voglia, mi sembrava giusto facendo un disegnino e morta lì.
Comunque anche per $x>1$... Assurdo!
Ci eravamo proposti di mostrare che non ci sono punti stazionari (nota: non significa che non ci possano essere punti di flesso!) e ci siamo riusciti.
Il metodo è un po' lungo ma l'ho fatto su carta e mi sembra corretto.
2) La seconda strada che puoi percorrere è osservare che il logaritmo è una funzione strettamente crescente. Se l'argomento è strettamente crescente allora tutta la nostra bella funzione è crescente. Non sono sicuro di questo ultimo metodo e non lho dimostrato.
Tanti saluti
Pier
PS: non sono sicuro che funzioni neppure il primo. Magari arriverà qualcuno più esperto di me...
1) puoi svolgere bene i calcoli della derivata prima e far vedere in qualche modo che non ci sono punti stazionari.
Non ti serve mostrare "a mano" che è crescente! Lo puoi dedurre direttamente dal fatto che:
- la funzione in questione ha i limiti e il dominio che hai detto (nota: la funzione è prolungabile con continuità in x=0 ed è perciò contintua).
- non ha punti staionari
Quindi è monotona crescente.
Questo è un metodo che ho provato e mi sembra funzioni.
Verifico quindi che non ci sono punti stazionari imponendo che la derivata prima sia uguale a zero
Alla fine della derivata prima io sono riuscito ad ottenere:
$1+x=e^((x-1)/x)$
Facciamo vedere che non vale per alcun x.
Per x che tende a zero da destra il secondo membro è 0, per x che tende a zero da sinistra tende a + infinito. In ambo i casi il primo membro è 1. Assurdo!
Se $x<0$ il primo membro è minore di 1 e il secondo membro è maggiore di $e^2$. Assurdo!
Se $0<=x<=1$ il primo membro è compreso tra uno (escluso) e due e il secondo membro è compreso tra zero (escluso) e uno (incluso). Assurdo!
Se $x>1$ il primo membro è maggiore di due (escluso) e va a infinito. Il secondo membro sarà invece compreso tra 1 ed $e$. A rigore dovremmo proprio far vedere le due curve in questione non si incontrano mai. Con un'analisi un po' attenta (utilizzando le derivate seconde) penso si possa far vedere senza troppe difficoltà. Io non ne avevo voglia, mi sembrava giusto facendo un disegnino e morta lì.
Comunque anche per $x>1$... Assurdo!
Ci eravamo proposti di mostrare che non ci sono punti stazionari (nota: non significa che non ci possano essere punti di flesso!) e ci siamo riusciti.
Il metodo è un po' lungo ma l'ho fatto su carta e mi sembra corretto.
2) La seconda strada che puoi percorrere è osservare che il logaritmo è una funzione strettamente crescente. Se l'argomento è strettamente crescente allora tutta la nostra bella funzione è crescente. Non sono sicuro di questo ultimo metodo e non lho dimostrato.
Tanti saluti
Pier
PS: non sono sicuro che funzioni neppure il primo. Magari arriverà qualcuno più esperto di me...
Ah e per x che tende a più infinito usi Hopital e il risultato è più infinito
Dato che $1+x$ e $e^((x-1)/x)$ sono funzioni molto semplici da disegnare(una retta e una logaritmica sempre crescente) perciò alla fine ho risolto con il confronto e non hanno punti in comune (ovvero non si eguagliano mai, quindi la derivata della funzione originaria non si annulla mai, quindi non abbiamo massimi e minimi).Comunque anche il tuo metodo è buono, soprattutto dove non si può usare il confreonto grafico. Per i punti di flesso mi viene una derivata seconda molto difficile da studiare... l' ho spezzata e risolta graficamente, anzi m'è bastato e fare gli asintoti(l'orizzontale dice tutto). Le due funzioni in cui l' ho spezzata non si toccano mai e la derivata seconda risulta sempre negativa (quindi concavità verso l' alto). se volete posto i calcoli ma sono lunghetti.
no tranquillo non muoio dalla voglia di vedere un mare di calcoli ahah 
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