STUDIO DI FUNZIONE f(x)= ln(sqrt(X^2-4)/2)
Salve a tutti avrei bisogno di un aiuto nello svolgimento di questo studio di funzione.
f(x)= ln(sqrt(x^2-4)/2)
grazie in anticipi
f(x)= ln(sqrt(x^2-4)/2)
grazie in anticipi
Risposte
Tu hai fatto qualcosa? Dominio? Limiti nei punti critici? Derivata prima ed eventualmente seconda?
Sono arrivato fino alla derivata seconda, ma diffido del mio lavoro 
"Shiony":
Sono arrivato fino alla derivata seconda, ma diffido del mio lavoro
Poll ti sta giustamente chiedendo di postare i risultati che hai trovato...in questo modo possiamo aiutarti meglio...capiamo se e che tipo di errori hai fatto...te spieghiamo l'approccio migliore per evitarli e magari impari qualche cosa di utile per i tuoi futuri studi.....
Dominio=??
limiti della funzione agli estremi del dominio=??
(se c'è un asintoto verticale, limite sinistro e destro...)
derivata prima=??
punti stazionari=??
analisi del segno della derivata prima=??
derivata seconda=??
analisi del segno della derivata seconda=??
ricerca di eventuali asintoti obliqui (se necessario)
ecc ecc
Per il dominio ho posto l'argomento della radice maggiore o uguale a 0 e come risultato ho avuto per x maggiore o uguale di +2 e minore o uguale di-2, poi ho posto l'argomento del logaritmo maggiore di 0 ed ho avuto lo stesso risultato della radice ovviamente escludendo l'uguale visto che il logaritmo non può avere 0 come argomento quindi per ogni x tale che x<-2 U x>2
(-oo, -2) U (2,+oo)
poi ho verificato che la funzione è pari dato che sostituendo -x alla funzione non cambia visto che la x è elevata al quadrato.
e fino a qui credo sia tutto correto, dal passo successivo in poi inizio a dubitare.
nell'intersezione con gli assi, ho visto che la funzione non interseca l'asse y poichè sostituendo 0 ad x l'argomento del logaritmo viene 0, mentre interseca l'asse x nei punti +2sqrt2 e -2sqrt2.
se mi dite se ho fatto bene fino a qui continuo a postare gli altri risultati
(-oo, -2) U (2,+oo)
poi ho verificato che la funzione è pari dato che sostituendo -x alla funzione non cambia visto che la x è elevata al quadrato.
e fino a qui credo sia tutto correto, dal passo successivo in poi inizio a dubitare.
nell'intersezione con gli assi, ho visto che la funzione non interseca l'asse y poichè sostituendo 0 ad x l'argomento del logaritmo viene 0, mentre interseca l'asse x nei punti +2sqrt2 e -2sqrt2.
se mi dite se ho fatto bene fino a qui continuo a postare gli altri risultati
Tutto giusto finora tranne un'imprecisione: è giusto che la funzione non intersechi l'asse y, ma avviene perchè $x=0$ è fuori dal dominio. Devi sempre avere in mente dove stai guardando; se esci dal dominio cadi nell'abisso . A parte questo, vai con i limiti agli estremi del dominio e con la derivata prima, noi ti sosteniamo 
Può essere utile indicare le informazioni che ricavi sul grafico,, in particolare cancellare ciò che non fa parte del dominio è utile.
Infine un consiglio di forma: scrivi le tue formule mettendole tra due simboli del dollaro.
Se non li metti viene scritto f(x)= ln(sqrt(x^2-4)/2), se invece il metti viene $f(x)= ln(sqrt(x^2-4)/2)$. Un bel miglioramento
. A parte questo, vai con i limiti agli estremi del dominio e con la derivata prima, noi ti sosteniamo Può essere utile indicare le informazioni che ricavi sul grafico,, in particolare cancellare ciò che non fa parte del dominio è utile.
Infine un consiglio di forma: scrivi le tue formule mettendole tra due simboli del dollaro.
Se non li metti viene scritto f(x)= ln(sqrt(x^2-4)/2), se invece il metti viene $f(x)= ln(sqrt(x^2-4)/2)$. Un bel miglioramento
Grazie sia del consiglio che del sostegno xD, comunque ponendo il limite di x che tende a +oo, il risultato mi viene +oo quindi c'è un asintoto orizzantale che tende a +oo, poi ho posto il limite di x che tende a -oo, e qui non so se sia giusto mettere come risultato -oo o se è giusto +oo dato che non ho capito se $-oo^2$ diventa positivo o no, poi facendo i limiti con +2 e -2 non ottengo risultati dato che cosi l'argomento di ln diventa 0, quindi non ci sono asintoti verticali.
Per quanto riguarda la derivata, mi viene $x/(x^2-4)$ e che il suo dominio è per x diverso da più o meno 2
Giusto o no adesso? Io non credo xD
P.S. ho anche studiato il segno della funzione che mi dice che è positiva per x<-2$sqrt2$ e x>2$sqrt2$ e negativa per -2$sqrt2$ < x < -2 e 2 < x < 2$sqrt2$
Per quanto riguarda la derivata, mi viene $x/(x^2-4)$ e che il suo dominio è per x diverso da più o meno 2
Giusto o no adesso? Io non credo xD
P.S. ho anche studiato il segno della funzione che mi dice che è positiva per x<-2$sqrt2$ e x>2$sqrt2$ e negativa per -2$sqrt2$ < x < -2 e 2 < x < 2$sqrt2$
Eh no, sui limiti hai fatto qualche casino purtroppo. Nessun problema, si rimedia.
Innanzitutto, come hai detto tu prima
Quindi puoi semplificarti la vita fingendo che il dominio sia solo $(2,+infty)$ e poi riportare simmetricamente tutto ciò che trovi sulla parte negativa. In particolare quindi ci basta calcolare $lim_(x->+infty) f(x) $ e $lim_(x->2^+) f(x)$
Ora, $lim_(x->+infty) ln(sqrt(x^2-4)/2) $ è facile se conosci il grafico di ln(x). è uno di quei grafici da sapere a memoria visto che torna spesso utile. In particolare a noi interessa il fatto che, se il suo argomento va a $+infty$, come è ovviamente in questo caso, anche il log va a $+infty$.
Nota anche che, se il suo argomento va a 0, il log va a $-infty$. Con questo i due limiti sono risolti, e quindi per la simmetria anche i limiti nell'altra parte di dominio saranno uguali
Purtroppo, essendo $lim_(x->+infty) f(x) =+infty$, non c'è asintoto orizzontale e quindi può esserci asintoto obliquo. Lascio a te cercare se ci sia o meno, nel caso non riesca chiedi.
Essendo $lim_(x->2^+) f(x) = - infty$ c'è quindi un asintoto verticale in $x=-2$.
La derivata e lo studio di segno invece sono giusti. Ora, a rigore, ti mancherebbe solo lo studio del segno della derivata per conoscere monotonìa ed estremanti. Però è ovvio che non ci siano estremanti, dato che la derivata si annulla solo in x=0 (e tu sai perchè non va bene). Inoltre a sinistra la funzione va a $-infty$ ed a destra va a $+infty$ senza discontinuità, quindi mi sembra ovvio che stia crescendo
Ah, ci sarebbe anche lo studio della derivata seconda, in cerca di punti di flesso. Non credo ne troverai ma è sicuramente un buon esercizio. Vedi tu.
Innanzitutto, come hai detto tu prima
"Shiony":
ho verificato che la funzione è pari dato che sostituendo -x alla funzione non cambia visto che la x è elevata al quadrato.
Quindi puoi semplificarti la vita fingendo che il dominio sia solo $(2,+infty)$ e poi riportare simmetricamente tutto ciò che trovi sulla parte negativa. In particolare quindi ci basta calcolare $lim_(x->+infty) f(x) $ e $lim_(x->2^+) f(x)$
Ora, $lim_(x->+infty) ln(sqrt(x^2-4)/2) $ è facile se conosci il grafico di ln(x). è uno di quei grafici da sapere a memoria visto che torna spesso utile. In particolare a noi interessa il fatto che, se il suo argomento va a $+infty$, come è ovviamente in questo caso, anche il log va a $+infty$.
Nota anche che, se il suo argomento va a 0, il log va a $-infty$. Con questo i due limiti sono risolti, e quindi per la simmetria anche i limiti nell'altra parte di dominio saranno uguali
Purtroppo, essendo $lim_(x->+infty) f(x) =+infty$, non c'è asintoto orizzontale e quindi può esserci asintoto obliquo. Lascio a te cercare se ci sia o meno, nel caso non riesca chiedi.
Essendo $lim_(x->2^+) f(x) = - infty$ c'è quindi un asintoto verticale in $x=-2$.
La derivata e lo studio di segno invece sono giusti. Ora, a rigore, ti mancherebbe solo lo studio del segno della derivata per conoscere monotonìa ed estremanti. Però è ovvio che non ci siano estremanti, dato che la derivata si annulla solo in x=0 (e tu sai perchè non va bene
). Inoltre a sinistra la funzione va a $-infty$ ed a destra va a $+infty$ senza discontinuità, quindi mi sembra ovvio che stia crescendo Ah, ci sarebbe anche lo studio della derivata seconda, in cerca di punti di flesso. Non credo ne troverai ma è sicuramente un buon esercizio. Vedi tu.
Comunque, ecco le precisazioni/rimproveri che ho da farti.
Questo non ha senso, un asintoto orizzontale è una retta $y=k$ a cui la funzione si avvicina, appunto, asintoticamente all'infinito.. Che cos'è la retta $y=+infty$?
(Tirando in ballo la geometria affine e proiettiva quella retta esiste ed è pure importante, ma qui soprassediamo). Questo è proprio il caso in cui non c'è asintoto orizzontale.
Vabbè, immagino tu dica così perchè non conosci bene ln(x). Guarda il grafico e capirai
"Shiony":
ponendo il limite di x che tende a +oo, il risultato mi viene +oo quindi c'è un asintoto orizzantale che tende a +oo
Questo non ha senso, un asintoto orizzontale è una retta $y=k$ a cui la funzione si avvicina, appunto, asintoticamente all'infinito.. Che cos'è la retta $y=+infty$?
(Tirando in ballo la geometria affine e proiettiva quella retta esiste ed è pure importante, ma qui soprassediamo
). Questo è proprio il caso in cui non c'è asintoto orizzontale."Shiony":[/quote]
poi ho posto il limite di x che tende a -oo, e qui non so se sia giusto mettere come risultato -oo o se è giusto +oo dato che non ho capito se $-oo^2$ diventa positivo o no
Si, $(-infty)^2$ = +infty$. L'algebra dei segni opera normalmente anche con gli infiniti.
[quote="Shiony"] poi facendo i limiti con +2 e -2 non ottengo risultati dato che cosi l'argomento di ln diventa 0, quindi non ci sono asintoti verticali.
Vabbè, immagino tu dica così perchè non conosci bene ln(x). Guarda il grafico e capirai
Ok ho aggiustato come mi hai detto il fatto degli asintoti, avevo comunque provato a calcolare se c'erano estremanti, ed ho anche calcolato la monotonia vedendo che quando x è maggiore di 2 la funzione è crescente.
Ho anche calcolato la derivata seconda che mi viene $-((x^2)+4)/((x^2)-4)^2$, e ponendola uguale a 0 ho visto che non ci sono punti di flesso perchè viene la radice di un numero negativo. poi l'ultima cosa che non sono riuscito a fare è stata saper calcolare concavità e convessità, anche se comunque si nota subito che è una funzione concava.
Ho anche calcolato la derivata seconda che mi viene $-((x^2)+4)/((x^2)-4)^2$, e ponendola uguale a 0 ho visto che non ci sono punti di flesso perchè viene la radice di un numero negativo. poi l'ultima cosa che non sono riuscito a fare è stata saper calcolare concavità e convessità, anche se comunque si nota subito che è una funzione concava.
Comunque ti ringrazio per tutto l'aiuto ed i consigli, purtroppo lo studio di funzione sapevo farlo, anche discretamente, 3 anni fa quando andavo in 5 liceo, adesso non si sà per quale motivo il mio cervello ha rimosso tutto quindi sono praticamente partito da 0 xD
La concavità si studia come la monotonia, negli intervalli dove la derivata seconda è positival a ocncavità è verso l'alto, dove è negativa è verso il basso.
Qui direi evidente che la concavità sia verso il basso in tutto il dominio.
Qui direi evidente che la concavità sia verso il basso in tutto il dominio.
ok grazie, domani proverò a fare altri studi per esercitarmi, in caso posso contare ancora sul tuo aiuto? se si ti scrivo in privato, qui o apro un altro topic?
Grazie mille
Grazie mille
scrivimi pure quando vuoi, non so quanto potrò risponderti visto che a breve avrò un esame, però un po' di tempo si trova buone cose
buone cose
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo