Studio di funzione esponenziale
Sto effettuando lo studio della seguente funzione:
$abs(x)^(\frac{x}{x^2-1})$
Lo si può affrontare impostandola come
$ e^(\frac{x}{x^2-1}ln abs(x)) $.
Asintoto orizzontale e considerazioni sulle eventuali asimmetrie rispetto a questo nascono quasi spontanee.
Il problema è la derivata prima e come valutare il suo (eventuale) cambio di segno nello zero $ (x=1)$ .
La funzione da studiare ha anche dei flessi ma come si intuisce la derivata seconda è instudiabile.
Riporto la derivata prima $ (x>0) $:
$f'(x)=−e^\frac{xln(x)}{x^2−1}\frac{((x^2+1)ln(x)−x^2+1)}{(x^2-1)^2}$
C'è una maggiorazione rigorosa che dimostrara il comportamento per $ x>0 $ ed $ x<0 $?
Un saluto ed un grazie a tutti
ps l'unica cosa che mi viene in mente è studiare il grafico del numeratore della derivata prima........
$abs(x)^(\frac{x}{x^2-1})$
Lo si può affrontare impostandola come
$ e^(\frac{x}{x^2-1}ln abs(x)) $.
Asintoto orizzontale e considerazioni sulle eventuali asimmetrie rispetto a questo nascono quasi spontanee.
Il problema è la derivata prima e come valutare il suo (eventuale) cambio di segno nello zero $ (x=1)$ .
La funzione da studiare ha anche dei flessi ma come si intuisce la derivata seconda è instudiabile.
Riporto la derivata prima $ (x>0) $:
$f'(x)=−e^\frac{xln(x)}{x^2−1}\frac{((x^2+1)ln(x)−x^2+1)}{(x^2-1)^2}$
C'è una maggiorazione rigorosa che dimostrara il comportamento per $ x>0 $ ed $ x<0 $?
Un saluto ed un grazie a tutti
ps l'unica cosa che mi viene in mente è studiare il grafico del numeratore della derivata prima........
Risposte
Ciao Gandalf73,
La funzione proposta $y = f(x) = |x|^{x/(x^2 - 1)} = e^{x/(x^2 - 1) ln|x|} $ ha dominio naturale $D = (-\infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty) $, ma dato che
$\lim_{x \to 0} f(x) = 1 $
la si può estendere per continuità in $ x_0 = 0 $ ponendo il valore della funzione in $x_0$ uguale a quello del limite, cioè pari a $1$. Siccome poi $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 $, la funzione proposta ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 1 $
Evitando come la peste la derivata prima, è interessante notare che si ha:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \sqrt{e} $
$\lim_{x \to - 1} f(x) = 1/\sqrt{e} $
Pertanto la funzione proposta è limitata: $ m = 1/\sqrt{e} < f(x) < \sqrt{e} = M $
Volendo la si può estendere per continuità anche in $ - 1 $ e in $ 1 $, ponendo in definitiva:
$f^{\star}(x) := {(1/\sqrt{e} \text{ se } x = - 1;),(\text{ } 1 \text{ se } x = 0;),(\sqrt{e} \text{ se } x = 1;), (f(x) \text{ altrove }):} $
La funzione proposta $y = f(x) = |x|^{x/(x^2 - 1)} = e^{x/(x^2 - 1) ln|x|} $ ha dominio naturale $D = (-\infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty) $, ma dato che
$\lim_{x \to 0} f(x) = 1 $
la si può estendere per continuità in $ x_0 = 0 $ ponendo il valore della funzione in $x_0$ uguale a quello del limite, cioè pari a $1$. Siccome poi $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 $, la funzione proposta ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 1 $
Evitando come la peste la derivata prima, è interessante notare che si ha:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \sqrt{e} $
$\lim_{x \to - 1} f(x) = 1/\sqrt{e} $
Pertanto la funzione proposta è limitata: $ m = 1/\sqrt{e} < f(x) < \sqrt{e} = M $
Volendo la si può estendere per continuità anche in $ - 1 $ e in $ 1 $, ponendo in definitiva:
$f^{\star}(x) := {(1/\sqrt{e} \text{ se } x = - 1;),(\text{ } 1 \text{ se } x = 0;),(\sqrt{e} \text{ se } x = 1;), (f(x) \text{ altrove }):} $
Ciao Pillo, grazie mille.
Quindi in un certo senso nei passaggi sopra evidenziati possiamo senza dubbio capire:
max/min relativi , il fatto che vi siano COMUNQUE dei cambi di concavità (quindi flessi) senza "transitare" per lo studio del segno delle derivate, in cui la prima sarebbe "abbastanza" addomesticabile, la seconda , dire inavvicinabile è forse un complimento. Corretto? (il/i flesso/i sono solo "stimabili" numericamente...ti torna?)
Un saluto e grazie ancora
A.
Quindi in un certo senso nei passaggi sopra evidenziati possiamo senza dubbio capire:
max/min relativi , il fatto che vi siano COMUNQUE dei cambi di concavità (quindi flessi) senza "transitare" per lo studio del segno delle derivate, in cui la prima sarebbe "abbastanza" addomesticabile, la seconda , dire inavvicinabile è forse un complimento. Corretto? (il/i flesso/i sono solo "stimabili" numericamente...ti torna?)
Un saluto e grazie ancora
A.
"Gandalf73":
Ciao Pillo, grazie mille.
Prego.
"Gandalf73":
max/min relativi
Attenzione che il minimo $L(- 1, 1/\sqrt{e}) $ ed il massimo $M(1, \sqrt{e}) $ sono tali solo se si considera la funzione estesa per continuità $f^{\star}(x)$ definita come nel mio post precedente: la funzione $f(x) $ proposta non è definita in $x = - 1$ e in $ x = 1 $
Certo ovviamente si.
Mi sfugge come posso "dimostrare" che basta studiarne solo una parte anzichè le due risultanti dall'eliminazione del modulo (questo considerandone l'antisimmetria rispetto all'asse y=1).
Per il flessi, si va solo per intuito senza passare per l'analitico, corretto?
Oppure, potrebbe spuntare una terza via con qualche maggiorazione "acrobatica" e/o altra considerazione?
(che i flessi ci debbano essere è desumibile dal combinato tra l'asintoto orizzontale e l'estensione per continuità della funzione...)
Mi sfugge come posso "dimostrare" che basta studiarne solo una parte anzichè le due risultanti dall'eliminazione del modulo (questo considerandone l'antisimmetria rispetto all'asse y=1).
Per il flessi, si va solo per intuito senza passare per l'analitico, corretto?
Oppure, potrebbe spuntare una terza via con qualche maggiorazione "acrobatica" e/o altra considerazione?
(che i flessi ci debbano essere è desumibile dal combinato tra l'asintoto orizzontale e l'estensione per continuità della funzione...)
"Gandalf73":
Mi sfugge come posso "dimostrare" che basta studiarne solo una parte anzichè le due risultanti dall'eliminazione del modulo (questo considerandone l'antisimmetria rispetto all'asse y=1).
Non puoi dimostrarlo perché è falso: infatti, indicata con $d_M $ la distanza del punto di massimo dall'asintoto orizzontale $y = 1 $ e con $d_L $ la distanza del punto di minimo dallo stesso asintoto, basta osservare che esse sono diverse:
$ d_M = \sqrt{e} - 1 \ne d_L = 1 - 1/\sqrt{e} $ (in particolare si ha $d_M > d_L $)
D'altronde si ha $f(- x) = |- x|^{- x/(x^2 - 1)} = |x|^{- x/(x^2 - 1)} = 1/|x|^{x/(x^2 - 1)} = 1/f(x) \implies f(x) \cdot f(- x) = 1 $
Allora è come pensavo inizialmente.
I 2 "tronconi" seguono lo stesso "andamento grafico" rispetto all'asintoto ma non hanno una simmetria rispetto ad esso (la parte a sx è "rimpicciolita" rispetto a quella a dx). Corretto?
Per quanto riguarda i flessi invece?Solo stime numeriche oppure può spuntare qualche tipo di maggiorazione ?
Grazie ancora..
I 2 "tronconi" seguono lo stesso "andamento grafico" rispetto all'asintoto ma non hanno una simmetria rispetto ad esso (la parte a sx è "rimpicciolita" rispetto a quella a dx). Corretto?
Per quanto riguarda i flessi invece?Solo stime numeriche oppure può spuntare qualche tipo di maggiorazione ?
Grazie ancora..
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