Studio di funzione e simmetrie varie
Salve a tutti,
studiando la funzione [size=150]\(y=\frac{\sqrt[{}]{1-\left|\cos\left(x\right)\right|}}{\sin\left(x\right)} \)[/size] sono giunto ad un punto morto.
Guardando la soluzione vedo che la funzione è periodica di 2 pi greco (fin qui tutto bene) e dispari (anche qui ci siamo).
Poi mi dice che la funzione è simmetrica rispetto alla retta [size=150]\(x=\frac\pi2 \)[/size].
Ora io non metto in dubbio che ciò sia vero ma come lo posso spiegare?
Cioè ad un compito non potrei mettere "è simmetrica a questa retta perchè si", mi sapete aiutare a trovare una spiegazione logica a questa simmetria?
studiando la funzione [size=150]\(y=\frac{\sqrt[{}]{1-\left|\cos\left(x\right)\right|}}{\sin\left(x\right)} \)[/size] sono giunto ad un punto morto.
Guardando la soluzione vedo che la funzione è periodica di 2 pi greco (fin qui tutto bene) e dispari (anche qui ci siamo).
Poi mi dice che la funzione è simmetrica rispetto alla retta [size=150]\(x=\frac\pi2 \)[/size].
Ora io non metto in dubbio che ciò sia vero ma come lo posso spiegare?
Cioè ad un compito non potrei mettere "è simmetrica a questa retta perchè si", mi sapete aiutare a trovare una spiegazione logica a questa simmetria?
Risposte
devi dimostrare che $f(pi/2-x)=f(pi/2+x) forall x>0$ tale che la funzione esista
Ok grazie, questo è per dimostrare che f è simmetrica a quella retta. 
Ma in base a cosa io scelgo quella precisa retta e non un'altra retta/un altro punto?
Ma in base a cosa io scelgo quella precisa retta e non un'altra retta/un altro punto?
beh,diciamo che non è che sia proprio evidentissimo : bisognava ragionare sulle formule degli archi associati e osservare
che $|cos(pi/2+x)|=|cos(pi/2-x)|$ e $sen(pi/2-x)=sen(pi/2+x)$
che $|cos(pi/2+x)|=|cos(pi/2-x)|$ e $sen(pi/2-x)=sen(pi/2+x)$
"poeta indefinito":
Ma in base a cosa io scelgo quella precisa retta e non un'altra retta/un altro punto?
Beh! Potrebbe indurti in tentazione l'osservare che per $ x= \pi/2 $ si annulla l'argomento del valore assoluto.
Ciao
B.
Ho capito, grazie tante a tutti e due!! 
Approfitto un attimo per una ultima domanda:
nel caso invece che la simmetria sia rispetto ad un punto, come si dimostra ci posso arrivare, ma ancora in base a cosa scelgo quel punto?
Esempio la funzione \(y=\frac{\sqrt{1-\left|\sin\left(x\right)\right|}}{\cos\left(x\right)} \) che è simmetrica al punto \(\begin{pmatrix}\frac\pi2\;;&0\end{pmatrix} \)
Approfitto un attimo per una ultima domanda:
nel caso invece che la simmetria sia rispetto ad un punto, come si dimostra ci posso arrivare, ma ancora in base a cosa scelgo quel punto?
Esempio la funzione \(y=\frac{\sqrt{1-\left|\sin\left(x\right)\right|}}{\cos\left(x\right)} \) che è simmetrica al punto \(\begin{pmatrix}\frac\pi2\;;&0\end{pmatrix} \)
generalizzando quanto si ha con le funzioni dispari,una funzione è simmetrica rispetto a un punto $a$ se $forall x >0$ tale che $a+x,a-x in D$ ,si ha $f(a-x)=-f(a+x)$
"poeta indefinito":
nel caso invece che la simmetria sia rispetto ad un punto, come si dimostra ci posso arrivare, ma ancora in base a cosa scelgo quel punto?
Mi spiace, non son capace di fornirti una ricetta a prova di distrazione (e neppure mi piacerebbe farlo). Però, nell'esempio che proponi, i valori ( $ x=k\pi $ ) che annullano il valore assoluto, corrispondono ancora a simmetrie, in questo caso assiali, ed eventuali ulteriori simmetrie possono aversi nei punti medi dei precedenti.
Ciao
B..
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