Studio di funzione e intersezioni
Ciao a tutti stavo facendo lo studio di funzione di questa funzione
$ f(x) = 1 + x + 2|x|/x*arctg(1/x) $
Stavo cercando le intersezioni con gli assi e devo risolvere l'equazione
$ 1 + x + 2|x|/x*arctg(1/x) = 0$
Che metodo devo adottare per risolverla?
$ f(x) = 1 + x + 2|x|/x*arctg(1/x) $
Stavo cercando le intersezioni con gli assi e devo risolvere l'equazione
$ 1 + x + 2|x|/x*arctg(1/x) = 0$
Che metodo devo adottare per risolverla?
Risposte
mmm
non so aiutarti se cerchi un valore preciso,
forse si può dire quante intersezioni ci sono con l'asse delle ascisse e cercare di avvicinarsi al valore/i di x...
Cosa altro hai fatto?
non so aiutarti se cerchi un valore preciso,
forse si può dire quante intersezioni ci sono con l'asse delle ascisse e cercare di avvicinarsi al valore/i di x...
Cosa altro hai fatto?
Per il resto ho fatto tutto, ho anche disegnato il grafico della funzione però mi rimane il dubbio su questa intersezione. Come si potrebbe arrivare ad un valore se non esatto approssimato?
sostituendo con qualche valore preso con cognizione di causa, l'intersezione la troviamo sul semiasse positivo o negativo?
Cosa mi dici dell'intersezione con l'asse y?
Cosa mi dici dell'intersezione con l'asse y?
Per $x=0$ non è definita... e siamo a posto.
Consiglierei i vari casi per sbarazzarci del modulo.
$x>0$
$f(x)=1+x+2arctan(1/x)$
e l'altro
$x<0$
$f(x)=1+x-2arctan(1/x)$
Doppio hint.
Ti sei accorto che per $x>0$ la funzione è
"quantità positiva"+"funzione strettamente crescente"+"funzione strettamente positiva"?
Per $x<0$ la situazione è più complicata.
Ti puoi accorgere che per $x<0$, $f'(x)$ è sempre positiva dunque $f(x)$ è monotona crescente e quindi l'intersezione con gli assi, se c'è, sarà unica.
Solo che per $x->0^-$ essa tende a $\pi+1>0$ mentre per $x->-\infty$ essa tende a $-\infty$.
Dunque anche se unica, un'intersezione c'è[nota]Mi piace sempre ricordare che il "sottovalutato" teorema di permanenza del segno assicura che esiste un intorno sinistro dell'origine in cui $f$ è positiva e uno destro dell'infinito in cui $f$ è negativa. In altre parole esistono $a,b<0$ con $a0$ il ché giustifica l'esistenza dello zero per il teorema omonimo. [/nota] e occorre trovarla (approssimata) con metodi istruttivi come quello grafico.
E' dalle 10 che sto scrivendo questo post e nel frattempo ho visto (anteprima) che ci sono 2 post nuovi. Però mi intrometto lo stesso.
Consiglierei i vari casi per sbarazzarci del modulo.
$x>0$
$f(x)=1+x+2arctan(1/x)$
e l'altro
$x<0$
$f(x)=1+x-2arctan(1/x)$
Doppio hint.
Ti sei accorto che per $x>0$ la funzione è
"quantità positiva"+"funzione strettamente crescente"+"funzione strettamente positiva"?
Per $x<0$ la situazione è più complicata.
Ti puoi accorgere che per $x<0$, $f'(x)$ è sempre positiva dunque $f(x)$ è monotona crescente e quindi l'intersezione con gli assi, se c'è, sarà unica.
Solo che per $x->0^-$ essa tende a $\pi+1>0$ mentre per $x->-\infty$ essa tende a $-\infty$.
Dunque anche se unica, un'intersezione c'è[nota]Mi piace sempre ricordare che il "sottovalutato" teorema di permanenza del segno assicura che esiste un intorno sinistro dell'origine in cui $f$ è positiva e uno destro dell'infinito in cui $f$ è negativa. In altre parole esistono $a,b<0$ con $a
[/nota] e occorre trovarla (approssimata) con metodi istruttivi come quello grafico.E' dalle 10 che sto scrivendo questo post e nel frattempo ho visto (anteprima) che ci sono 2 post nuovi. Però mi intrometto lo stesso.
Intanto grazie a tutti per le risposte.
@Zero87 Quella da te descritta mi sembra la via migliore, in questo modo so che la funzione ha un intersezione con il semiasse negativo delle x. In questo caso però ho anche un asintoto obliquo che mi fa da "guida" quando traccio il grafico quindi anche se non trovo il valore esatto riesco a disegnare la funzione senza grossi problemi. Grazie mille
@Zero87 Quella da te descritta mi sembra la via migliore, in questo modo so che la funzione ha un intersezione con il semiasse negativo delle x. In questo caso però ho anche un asintoto obliquo che mi fa da "guida" quando traccio il grafico quindi anche se non trovo il valore esatto riesco a disegnare la funzione senza grossi problemi. Grazie mille
Ciao Gabry
cosa mi dici di
$lim_(x->0^+)f(x)=...$
e
$lim_(x->0^-)f(x)=...$
non è necessario citare l'intero post precedente quando rispondi, puoi rivolgerti direttamente @Zero
Cancella per favore, usando il tasto modifica, le parti non necessarie; se il thread è snello è più bello!
cosa mi dici di
$lim_(x->0^+)f(x)=...$
e
$lim_(x->0^-)f(x)=...$
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Cancella per favore, usando il tasto modifica, le parti non necessarie; se il thread è snello è più bello!
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