Studio di funzione e derivata
ho questa funzione:
$f(x)=x-root(3)(x^3+3x^2)$
$f'(x)=1-frac{x(x+2)}{(x^2*(x+3))^{2/3}}$
fin qua tutto giusto, vero?
ora il problema è:
$x=-3$ è un pto di non derivabilità ma a me i limiti mi vengono:
$lim_{x to 3^-}f'(x)=+\infty=lim_{x to 3^+} f'(x)$
...eppure dal grafico si vede una cuspide in -3 con segni dei limiti diversi...
cosa sto sbagliando?
$f(x)=x-root(3)(x^3+3x^2)$
$f'(x)=1-frac{x(x+2)}{(x^2*(x+3))^{2/3}}$
fin qua tutto giusto, vero?
ora il problema è:
$x=-3$ è un pto di non derivabilità ma a me i limiti mi vengono:
$lim_{x to 3^-}f'(x)=+\infty=lim_{x to 3^+} f'(x)$
...eppure dal grafico si vede una cuspide in -3 con segni dei limiti diversi...
cosa sto sbagliando?
Risposte
Ciao.
Forse ho sbagliato io qualche conto, ma a me la derivata prima verrebbe
$ f'(x)=1-frac{3x(x+2)}{(x^2*(x+3))^{2/3}} $
Saluti.
Forse ho sbagliato io qualche conto, ma a me la derivata prima verrebbe
$ f'(x)=1-frac{3x(x+2)}{(x^2*(x+3))^{2/3}} $
Saluti.
non lo so, devo riguardare... ma la sostanza del problema non cambia.
quel tre che c'è in piú/meno non cambia
quel tre che c'è in piú/meno non cambia
No, avevi ragione tu sulla derivata prima.
Ora provo a riflettere sul resto del problema.
Saluti.
Ora provo a riflettere sul resto del problema.
Saluti.
Tracciando il grafico con Geogebra a me esce un flesso a tangente verticale :S
La butto lì, magari hai messo 2/3 all'esponente invece che 1/3 quando hai tracciato il grafico.
La butto lì, magari hai messo 2/3 all'esponente invece che 1/3 quando hai tracciato il grafico.
"kobeilprofeta":
ora il problema è:
$x=-3$ è un pto di non derivabilità ma a me i limiti mi vengono:
$lim_{x to 3^-}f'(x)=+\infty=lim_{x to 3^+} f'(x)$
...eppure dal grafico si vede una cuspide in -3 con segni dei limiti diversi...
cosa sto sbagliando?
Ciao.
Attenzione, nei limiti si deve avere $x to -3^pm$ e non a $x to 3^pm$; presumo che questa svista sia dovuta ad un semplice refuso; al di là di ciò, ho esaminato il problema.
A me risulta:
$lim_{x to -3^-}f'(x)=-\infty=lim_{x to -3^+} f'(x)$
cioè: il punto $x=-3$ è un punto di flesso a tangente verticale, con funzione decrescente in prossimità del punto stesso.
Ho avuto la conferma del mio risultato grazie a questo sito per tracciare grafici di funzione.
Saluti.
In $x=-3$ dovrebbe esserci un flesso a tangente verticale proprio perchè i limiti destro e sinistro sono infiniti ma uguali
in $x=0$ dovrebbe esserci una cuspide, anche quello è punto di continuità ma di non derivabilità... non è che ti sei confuso con questo secondo punto?
in $x=0$ dovrebbe esserci una cuspide, anche quello è punto di continuità ma di non derivabilità... non è che ti sei confuso con questo secondo punto?
A me con wolfram viene una cuspide in x=-3, ma anche a me viene $-\infty$ il limite della derivata destro e sinistro in quel punto. C'è qualcosa che non quadra.
Il ragionamento matematico dice che c'è un flesso a tangente verticale... questo basta e avanza... mai riporre la propria fiducia nell'elettronica 
detto questo il caro e vecchio "graph" fa vedere un bellissimo flesso a tangente verticale in x=-3 e una cuspide in x=0
detto questo il caro e vecchio "graph" fa vedere un bellissimo flesso a tangente verticale in x=-3 e una cuspide in x=0
"dan95":
A me con wolfram viene una cuspide in x=-3, ma anche a me viene $-\infty$ il limite della derivata destro e sinistro in quel punto. C'è qualcosa che non quadra.
anch'io esattamente come te mi trovo...
c'è qualquadra che non cosa!
Credo di aver risolto l'arcano.
La derivata prima si annulla in $-8/3$ che è molto vicino a $-3$ e se il grafico non è molto preciso (bisogna fare lo zoom) il flesso a tangente verticale presente in $-3$ e il minimo a $-8/3$ sembrano coincidere e generare una cuspide. Invece in 0 la cuspide c'è sul serio.
La derivata prima si annulla in $-8/3$ che è molto vicino a $-3$ e se il grafico non è molto preciso (bisogna fare lo zoom) il flesso a tangente verticale presente in $-3$ e il minimo a $-8/3$ sembrano coincidere e generare una cuspide. Invece in 0 la cuspide c'è sul serio.
"@melia":
Credo di aver risolto l'arcano.
La derivata prima si annulla in $ -8/3 $ che è molto vicino a $ -3 $ e se il grafico non è molto preciso (bisogna fare lo zoom) il flesso a tangente verticale presente in $ -3 $ e il minimo a $ -8/3 $ sembrano coincidere e generare una cuspide. Invece in 0 la cuspide c'è sul serio.
Tutto vero.
La conferma, da un punto di vista grafico, di questi risultati la si può avere, in modo chiaro, tramite il sito segnalato nel mio post precedente.
Saluti.
Si infatti il grafico di wolfram è abbastanza piccolo e sembrava una cuspide.
Ascoltate Mazzarri ... fidatevi ... 
Ciao a tutti.
Ulteriore approfondimento: diverso tempo fa, in un altro topic e su una questione analoga, qualcuno mi fece presente che...
Presumo che, in teoria, si sarebbe dovuto procedere in quest'altro modo per calcolare le derivate destre e sinistre in $-3$, visto che, nell'esercizio proposto avevamo $f'(x)$ discontinua in $x=-3$.
Perchè, in questo esempio, per usare le parole dell'autore della citazione, "la sottigliezza sarebbe sparita", nonostante la discontinuità di $f'(x)$ in $x=-3$?
Voi che ne pensate?
Saluti.
Ulteriore approfondimento: diverso tempo fa, in un altro topic e su una questione analoga, qualcuno mi fece presente che...
No, non si calcola il limite di $f'(x)$. Invece si calcola la cosiddetta "derivata unilaterale":
\[
f'_+(a)=\lim_{h\to 0,\ h>0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]
(e l'ovvia variante \(f'_{-}(b)\)). Sotto opportune ipotesi su $f'$, queste derivate coincidono con i limiti $\lim_{x\to a^+}f'(x)$ e $\lim_{x\to b^-}f'(x)$. [...]. Finché la derivata è una funzione continua, tutte queste sottigliezze spariscono, ma può capitare una funzione la cui derivata presenti discontinuità.
Presumo che, in teoria, si sarebbe dovuto procedere in quest'altro modo per calcolare le derivate destre e sinistre in $-3$, visto che, nell'esercizio proposto avevamo $f'(x)$ discontinua in $x=-3$.
Perchè, in questo esempio, per usare le parole dell'autore della citazione, "la sottigliezza sarebbe sparita", nonostante la discontinuità di $f'(x)$ in $x=-3$?
Voi che ne pensate?
Saluti.
Se non ho capito male quello che diceva Fioravante e che venne ribadito da Dissonance qualche tempo fa, è che sotto opportune ipotesi vale la seguente uguaglianza:
$$\lim_{x\rightarrow x_0^+}(\lim_{h \rightarrow 0, h>0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h})=\lim_{h\rightarrow 0,h>0}(\lim_{x \rightarrow x_0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h})$$
Ovviamente anche per il caso $x \rightarrow x_0^-$.
$$\lim_{x\rightarrow x_0^+}(\lim_{h \rightarrow 0, h>0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h})=\lim_{h\rightarrow 0,h>0}(\lim_{x \rightarrow x_0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h})$$
Ovviamente anche per il caso $x \rightarrow x_0^-$.
No, dan95.
Quello che sostanzialmente si sosteneva era che, se vengono soddisfatte opportune ipotesi, vale:
$lim_{x to x_0^+}f'(x)=lim_{h to 0,h>0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
$lim_{x to x_0^-}f'(x)=lim_{h to 0,h<0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
Sono proprio le "opportune ipotesi" a interessarmi; credo (ma non ne sono certo, per questo motivo proponevo l'approfondimento) che l'ipotesi necessaria affinchè le due uguaglianze scritte sopra siano vere, sia che valga
$f(x)inC^1((x_0-epsilon,x_0+epsilon)-{x_0})$ per un opportuno $epsilon>0$.
Giusto?
Saluti.
Quello che sostanzialmente si sosteneva era che, se vengono soddisfatte opportune ipotesi, vale:
$lim_{x to x_0^+}f'(x)=lim_{h to 0,h>0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
$lim_{x to x_0^-}f'(x)=lim_{h to 0,h<0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
Sono proprio le "opportune ipotesi" a interessarmi; credo (ma non ne sono certo, per questo motivo proponevo l'approfondimento) che l'ipotesi necessaria affinchè le due uguaglianze scritte sopra siano vere, sia che valga
$f(x)inC^1((x_0-epsilon,x_0+epsilon)-{x_0})$ per un opportuno $epsilon>0$.
Giusto?
Saluti.
Un momento... forse le ipotesi vanno distinte in questo modo:
1) $lim_{x to x_0^+}f'(x)=lim_{h to 0,h>0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
purchè $f(x)inC^1((x_0;x_0+epsilon))$ per un opportuno $epsilon>0$.
2) $lim_{x to x_0^-}f'(x)=lim_{h to 0,h<0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
purchè $f(x)inC^1((x_0-epsilon;x_0))$ per un opportuno $epsilon>0$.
Giusto?
Saluti.
1) $lim_{x to x_0^+}f'(x)=lim_{h to 0,h>0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
purchè $f(x)inC^1((x_0;x_0+epsilon))$ per un opportuno $epsilon>0$.
2) $lim_{x to x_0^-}f'(x)=lim_{h to 0,h<0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
purchè $f(x)inC^1((x_0-epsilon;x_0))$ per un opportuno $epsilon>0$.
Giusto?
Saluti.
"axpgn":
Ascoltate Mazzarri ... fidatevi ...
Eh si Alex... grazie buona giornata!!
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