Studio di funzione due variabibili
Salve a tutti.
Sto cercando di svolgere quest'esercizio sullo studio di funzione. Vi scrivo quello che sono riuscito a fare:
PS:(scusate se l'equazione non è ben scritta)
\begin{equation}
z=\begin{cases}
e^(-y/x)+y^2/x^2+x/y & \mathrm{se}\ (x,y)=(0,0)\\
1& \mathrm{se}\ (x,y)\neq(0,0)
\end{cases}
\end{equation}
Nell'insieme: $D={(x,y)\inR^2: x>=0.y>=0,x+y<=1,1/2x<=y<=2x}$
Ho dunque un dominio chiuso e limitato da tre rette.
Per studiare se la funzione è continua ho fatto in questo modo:
$ \lim_{x\to 0,y=mx} e^((-mx)/x)+m^2x^2/x^2+x/(mx) $ $\Rightarrow$ $ \lim_{x\to 0,y=mx} e^-m+m^2+1/m$
Quindi non è continua in $(0,0)$ perché dipendente appunto dal coefficiente angolare.
Esso varierà tra:
$1/2<=m<=2$
Ora però non riesco a capire bene a livello concettuale se la funzione ammette massimi o minimi locali. Così come se è derivabile in (0,0).
Potreste aiutarmi?
Grazie come sempre!
Sto cercando di svolgere quest'esercizio sullo studio di funzione. Vi scrivo quello che sono riuscito a fare:
PS:(scusate se l'equazione non è ben scritta)
\begin{equation}
z=\begin{cases}
e^(-y/x)+y^2/x^2+x/y & \mathrm{se}\ (x,y)=(0,0)\\
1& \mathrm{se}\ (x,y)\neq(0,0)
\end{cases}
\end{equation}
Nell'insieme: $D={(x,y)\inR^2: x>=0.y>=0,x+y<=1,1/2x<=y<=2x}$
Ho dunque un dominio chiuso e limitato da tre rette.
Per studiare se la funzione è continua ho fatto in questo modo:
$ \lim_{x\to 0,y=mx} e^((-mx)/x)+m^2x^2/x^2+x/(mx) $ $\Rightarrow$ $ \lim_{x\to 0,y=mx} e^-m+m^2+1/m$
Quindi non è continua in $(0,0)$ perché dipendente appunto dal coefficiente angolare.
Esso varierà tra:
$1/2<=m<=2$
Ora però non riesco a capire bene a livello concettuale se la funzione ammette massimi o minimi locali. Così come se è derivabile in (0,0).
Potreste aiutarmi?
Grazie come sempre!
Risposte
Dovresti osservare che le linee di livello sono le rette passanti per l'origine. Se, per derivabilità nell'origine, intendi l'esistenza delle due derivate parziali prime, il problema non si pone visto che, se il dominio è quello di cui sopra, non sono definite. Vero è che, nell'origine, tutte le possibili derivate direzionali sono nulle e che la funzione, non essendo continua, non può essere differenziabile. Per quanto riguarda i minimi e i massimi, è sufficiente studiare:
per:
purtroppo, solo numericamente:
$g(m)=e^(-m)+m^2+1/m$
per:
$1/2 lt= m lt= 2$
purtroppo, solo numericamente:
$(dg)/(dm)=-e^(-m)+2m-1/m^2$
Ciao Dr.Hermann,
Comincerei con l'osservare che la funzione $z = f(x,y) $ proposta è pari ($f(-x, -y) = f(x,y) $) ed è definita in tutto $\RR^2 $, ma nel dominio $D={(x,y) \in \RR^2: x>=0, y>=0, x+y<=1, 1/2 x<=y<=2x} $ (che è un triangolo col vertice nel punto $O(0,0)$) completamente contenuto nel primo quadrante è sempre positiva. Imponendo le derivate parziali prime uguali a zero si trova il solo punto critico $O(0,0)$ nel quale sappiamo già cosa accade, dato che $ z_O = f(0, 0) = 1 $, per cui eviterei accuratamente di procedere con le derivate seconde e l'hessiano; invece terrei presente che per un noto teorema i punti di massimo e di minimo della funzione possono trovarsi solo sul bordo di $D$:
- Per $y = 1/2 x \implies y/x = 1/2 $ si ha: $ e^{-1/2}+ 1/4 + 2 = 1/sqrt{e} + 9/4 > 1 $
- Per $y = 2 x \implies y/x = 2 $ si ha: $ e^{- 2}+ 4 + 1/2 = 1/e^2 + 9/2 > 1/sqrt{e} + 9/4 > 1 $
A questo punto ti resta da studiare il solo caso $y = - x + 1 $...
Comincerei con l'osservare che la funzione $z = f(x,y) $ proposta è pari ($f(-x, -y) = f(x,y) $) ed è definita in tutto $\RR^2 $, ma nel dominio $D={(x,y) \in \RR^2: x>=0, y>=0, x+y<=1, 1/2 x<=y<=2x} $ (che è un triangolo col vertice nel punto $O(0,0)$) completamente contenuto nel primo quadrante è sempre positiva. Imponendo le derivate parziali prime uguali a zero si trova il solo punto critico $O(0,0)$ nel quale sappiamo già cosa accade, dato che $ z_O = f(0, 0) = 1 $, per cui eviterei accuratamente di procedere con le derivate seconde e l'hessiano; invece terrei presente che per un noto teorema i punti di massimo e di minimo della funzione possono trovarsi solo sul bordo di $D$:
- Per $y = 1/2 x \implies y/x = 1/2 $ si ha: $ e^{-1/2}+ 1/4 + 2 = 1/sqrt{e} + 9/4 > 1 $
- Per $y = 2 x \implies y/x = 2 $ si ha: $ e^{- 2}+ 4 + 1/2 = 1/e^2 + 9/2 > 1/sqrt{e} + 9/4 > 1 $
A questo punto ti resta da studiare il solo caso $y = - x + 1 $...
Salve Pilloeffe!
Allora ho qualche dubbio in merito alla prima parte del discorso. Nel senso che riguardo i massimi e minimi ho ottenuto come te valori per $m=1/2,2,-1$ e confrontandoli posso stabilirne l'identità.
Ma riguardo la prima parte non capisco perché la funzione è continua in tutto $R^2$ visto che ho $x$ ed $y$ al denominatore. Non dovrebbe essere $R^2-{0,0}$?
Poi un'altra cosa. Per calcolarmi la continuità in $(0,0)$ ,avevo sviluppato il limite con $y=mx$ e infatti viene che il limite non esiste perché dipendente dal parametro m, ergo non è continua in $(0,0)$. A questo punto io mi sono calcolato il limite del rapporto incrementale in $(0,0)$ e ho ottenuto che le derivate parziali in quel punto sono uguali e vengono zero,quindi è derivabile.
Però come dici te, studiando il $\gradf=0$ io non ottengo zero come punto critico,ma mi viene un sistema indeterminato. Perciò su questa parte riservo ancora dei dubbi..
Ps:Se la funzione non è continua in $(0,0)$ posso dire che la funzione non è di sicuro differenziabile in quel punto,giusto?
grazie!
Allora ho qualche dubbio in merito alla prima parte del discorso. Nel senso che riguardo i massimi e minimi ho ottenuto come te valori per $m=1/2,2,-1$ e confrontandoli posso stabilirne l'identità.
Ma riguardo la prima parte non capisco perché la funzione è continua in tutto $R^2$ visto che ho $x$ ed $y$ al denominatore. Non dovrebbe essere $R^2-{0,0}$?
Poi un'altra cosa. Per calcolarmi la continuità in $(0,0)$ ,avevo sviluppato il limite con $y=mx$ e infatti viene che il limite non esiste perché dipendente dal parametro m, ergo non è continua in $(0,0)$. A questo punto io mi sono calcolato il limite del rapporto incrementale in $(0,0)$ e ho ottenuto che le derivate parziali in quel punto sono uguali e vengono zero,quindi è derivabile.
Però come dici te, studiando il $\gradf=0$ io non ottengo zero come punto critico,ma mi viene un sistema indeterminato. Perciò su questa parte riservo ancora dei dubbi..
Ps:Se la funzione non è continua in $(0,0)$ posso dire che la funzione non è di sicuro differenziabile in quel punto,giusto?
grazie!
"Dr.Hermann":
Ma riguardo la prima parte non capisco perché la funzione è continua in tutto $R^2$ visto che ho $x$ ed $y$ al denominatore. Non dovrebbe essere $R^2-{0,0}$?
Quando è stato detto in questa conversazione che la funzione è continua in tutto $\mathbb{R}^2$?
"Dr.Hermann":
Ps:Se la funzione non è continua in (0,0) posso dire che la funzione non è di sicuro differenziabile in quel punto,giusto?
Hai letto qui sotto?
"anonymous_0b37e9":
Vero è che, nell'origine, tutte le possibili derivate direzionali sono nulle e che la funzione, non essendo continua, non può essere differenziabile.
Riguardo a questo:
"Dr.Hermann":
Però come dici te, studiando il $\gradf=0$ io non ottengo zero come punto critico,ma mi viene un sistema indeterminato. Perciò su questa parte riservo ancora dei dubbi..
Quante volte te lo devo dire che il gradiente è per i punti interni prima che ti entri in testa?
Il punto $(0,0)$ ti sembra interno all'insieme?
Salve Mephlip, mi spiego meglio.
Sicuramente ho inteso male io. Ma nelle prime frasi di Pilloeffe
Io intendevo qui.
(Riguardo la differenziabilità si perdonami è stata una svista).
Infine, ricordo bene che il gradiente è per i punti interni come mi dicesti e che quindi $(0,0)$ non lo è, io volevo solo far riferimento a questa affermazione:
Sicuramente ho inteso male io. Ma nelle prime frasi di Pilloeffe
"pilloeffe":
Comincerei con l'osservare che la funzione $ z = f(x,y) $ proposta è pari ($ f(-x, -y) = f(x,y) $) ed è definita in tutto $ \RR^2 $, ma nel dominio $ D={(x,y) \in \RR^2: x>=0, y>=0, x+y<=1, 1/2 x<=y<=2x} $ (che è un triangolo col vertice nel punto $ O(0,0) $) completamente contenuto nel primo quadrante è sempre positiva.
Io intendevo qui.
(Riguardo la differenziabilità si perdonami è stata una svista).
Infine, ricordo bene che il gradiente è per i punti interni come mi dicesti e che quindi $(0,0)$ non lo è, io volevo solo far riferimento a questa affermazione:
"pilloeffe":
Imponendo le derivate parziali prime uguali a zero si trova il solo punto critico $ O(0,0) $ nel quale sappiamo già cosa accade, dato che $ z_O = f(0, 0) = 1 $, per cui eviterei accuratamente di procedere con le derivate seconde e l'hessiano;
"Dr.Hermann":
[...] io non ottengo zero come punto critico,ma mi viene un sistema indeterminato.[...]
Vero, ma per $x \ge 0$ e $y \ge 0$ si ottiene per due volte la stessa equazione seguente:
$e^{y/x}(x^3 - 2y^3) + xy^2 = 0 $
Se $x $ e $y $ sono positivi o nulli, l'unica possibile soluzione di questa equazione è il punto $O(0,0) $ che non è un punto interno a $D$ e si sa già cosa accade in $O(0,0) $, basta guardare la definizione di $z = f(x,y) $: quindi a questo punto l'hessiano è inutile...
"Mephlip":
Hai letto qui sotto?
Grazie per la citazione. Ad ogni modo, intanto:
$[(delf)/(delx)=y/x^2e^(-y/x)-2y^2/x^3+1/y] ^^ [(delf)/(dely)=-1/xe^(-y/x)+2y/x^2-x/y^2]$
Ergo, per quanto riguarda i punti critici:
$[y/x^2e^(-y/x)-2y^2/x^3+1/y=0] ^^ [-1/xe^(-y/x)+2y/x^2-x/y^2=0] rarr$
$rarr [e^(-y/x)=2y/x-x^2/y^2] ^^ [e^(-y/x)=2y/x-x^2/y^2] rarr$
$rarr e^(-m)-2m+1/m^2=0$
non a caso la stessa equazione che si ottiene derivando la funzione introdotta nel mio primo messaggio:
$g(m)=e^(-m)+m^2+1/m$
e imponendo che la derivata sia nulla:
$[(dg)/(dm)=0] rarr [-e^(-m)+2m-1/m^2=0] rarr [e^(-m)-2m+1/m^2=0]$
Insomma, esistono infiniti punti critici, tutti i punti (interni al dominio) appartenenti alla retta passante per l'origine il cui coefficiente angolare soddisfa l'equazione sottostante:
$e^(-m)-2m+1/m^2=0$
Secondo Wolfram:
$m~=0.87002$
e, senza scomodare la matrice hessiana, si tratta di minimi relativi:
Chiedo scusa, ha ragione Sergeant Elias. Infatti l'equazione
con $y = mx $ porge $ e^m(x^3 - 2m^3 x^3) + m^2 x^3 = 0 \iff x^3 [e^m(1 - 2m^3) + m^2] = 0 $ e per il principio di annullamento del prodotto si ottiene $x = 0 \implies y = 0 \implies O(0,0) $, ma anche $ e^m(1 - 2m^3) + m^2 = 0 $
"pilloeffe":
$ e^{y/x}(x^3 - 2y^3) + xy^2 = 0 $
con $y = mx $ porge $ e^m(x^3 - 2m^3 x^3) + m^2 x^3 = 0 \iff x^3 [e^m(1 - 2m^3) + m^2] = 0 $ e per il principio di annullamento del prodotto si ottiene $x = 0 \implies y = 0 \implies O(0,0) $, ma anche $ e^m(1 - 2m^3) + m^2 = 0 $
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