Studio di funzione: dubbi!
Buon giorno a tutti,
i miei dubbi riguardano lo studio di funzione, lo so che sarà per voi banale e per questo mi scuso!
Ho visto trattare e spiegare cose che "noi umani non possiamo anche immaginare"
, complimenti a tutti!!!
Illustro i miei dubbi, allora sono due studi su cui non so come proseguire, mi spiegherò molto "terra-terra", spero di farmi capire e di capire le vostre eventuali risposte. Ne posto intanto uno, perchè i miei dubbi sono gli stessi e negli stessi punti.
Grazie!
1)Studio di funzione: $f(x)=(-x^2 + 6x -10)/(x-3)$
-Trovo il dominio, faccio il Delta e trovo che ha solo valori negativi per cui tutta la funzione a numeratore sarà sempre negativa, mentre so che a denominatore non può starci lo 0, per cui l'unico valore che annulla la funzione è +3. Da qui il dominio, $ AA x in RR - [+3] $, che posso scrivere anche come intervallo $ (-oo , +3)uu(+3, +oo) $, qui il primo dubbio, non dovrei scriverlo con le parentesi quadre vicino al 3? Il 3 non dovrebbe essere compreso nella funzione, perchè l'annulla, e quindi lì la funzione non esiste (giusto?).
-Calcolo i limiti per gli estremi del mio insieme, per cui $lim_(x -> pm oo ) (-x^2 + 6x -10)/(x-3) $ , per la gerarchia dei limiti prendo in considerazione solo $-x^2$ che mi darà sempre $-oo$ perchè davanti c'è sempre il meno, per cui non esistono asintoti orizzontali.
Calcolo allora il limite $lim_(x -> +3 ) (-x^2 + 6x -10)/(x-3) $, e qui mi sorge il secondo dubbio, se applicassi anche qui la gerarchia dei limiti otterrei -9, e so che è sicuramente sbagliato, in quanto +3 è un punto in cui la funzione non esiste. Per questo risolvo e ottengo $-1/0$ che mi da come risultato $-oo$, per cui esiste asintoto verticale, appunto +3 (risultato certo visto che a +3 non esiste la funzione, però come scelgo se utilizzare o no la gerarchia dei limiti? Solo se ottengo forme indeterminate? Quindi il passaggio prima per il limiti a $pm oo$ è sbagliato?)
Proseguo, sapendo che il polinomio al numeratore è di un grado maggiore rispetto al denominatore, per cui è possibile che esista asintoto obliquo. Lo calcolo e ottengo per $lim_(x -> +oo ) f(x)*1/x$ un valore di -1 (la mia m), calcolo poi il limite $lim_(x -> -oo ) f(x)-mx$ ottengo una q=+3, quindi con un'equazione della mia retta $y=-x+3$. E questo dovrebbe venire giusto, anche perchè la retta passa per il punto di coordinate (3,0).
-Studio dove è positiva o negativa o ottengo che fino a 3 è sempre positiva e poi sempre negativa, faccio il grafico disegnando i due asintoti e cancellando le zone in cui non potrà esistere la mia funzione.
-Ora calcolo i punti di intersezione con gli assi, con due sistemi, uno dato dalla mia $f(x)$ con $y=0$, ottenendo un punto di coordinate (3,0), cioè un punto in cui la funzione non esiste, è possibile? Sbaglio i calcoli?
Con il sistema invece $f(x)$ con $x=0$ ottengo $+10/3$, un po' più di tre, un valore plausibile, vicino al mio asintoto obliquo.
-Calcolo la mia derivata prima di $f(x)$, ottenendo $f'(x)=(-x^2 - 6x -8)/(x^2 -6x+9)$. Da qui non so come proseguire, ho guardati i tanti testi e molto su vari forum e internet, ho capito che devo porre questa $f'(x)$ maggiore di zero, faccio i Delta per le due equazioni, e ottengo al numeratore valori per l'equazione di $x(1,2)= -2, -4 e al denominatore invece $x(1=2)= +3$. Ma con questi risultati cosa capisco? Cosa ottengo? E come proseguo?
Come disegno poi il grafico?
Grazie mille a tutti!!!
S
i miei dubbi riguardano lo studio di funzione, lo so che sarà per voi banale e per questo mi scuso!
Ho visto trattare e spiegare cose che "noi umani non possiamo anche immaginare"
, complimenti a tutti!!!Illustro i miei dubbi, allora sono due studi su cui non so come proseguire, mi spiegherò molto "terra-terra", spero di farmi capire e di capire le vostre eventuali risposte. Ne posto intanto uno, perchè i miei dubbi sono gli stessi e negli stessi punti.
Grazie!
1)Studio di funzione: $f(x)=(-x^2 + 6x -10)/(x-3)$
-Trovo il dominio, faccio il Delta e trovo che ha solo valori negativi per cui tutta la funzione a numeratore sarà sempre negativa, mentre so che a denominatore non può starci lo 0, per cui l'unico valore che annulla la funzione è +3. Da qui il dominio, $ AA x in RR - [+3] $, che posso scrivere anche come intervallo $ (-oo , +3)uu(+3, +oo) $, qui il primo dubbio, non dovrei scriverlo con le parentesi quadre vicino al 3? Il 3 non dovrebbe essere compreso nella funzione, perchè l'annulla, e quindi lì la funzione non esiste (giusto?).
-Calcolo i limiti per gli estremi del mio insieme, per cui $lim_(x -> pm oo ) (-x^2 + 6x -10)/(x-3) $ , per la gerarchia dei limiti prendo in considerazione solo $-x^2$ che mi darà sempre $-oo$ perchè davanti c'è sempre il meno, per cui non esistono asintoti orizzontali.
Calcolo allora il limite $lim_(x -> +3 ) (-x^2 + 6x -10)/(x-3) $, e qui mi sorge il secondo dubbio, se applicassi anche qui la gerarchia dei limiti otterrei -9, e so che è sicuramente sbagliato, in quanto +3 è un punto in cui la funzione non esiste. Per questo risolvo e ottengo $-1/0$ che mi da come risultato $-oo$, per cui esiste asintoto verticale, appunto +3 (risultato certo visto che a +3 non esiste la funzione, però come scelgo se utilizzare o no la gerarchia dei limiti? Solo se ottengo forme indeterminate? Quindi il passaggio prima per il limiti a $pm oo$ è sbagliato?)
Proseguo, sapendo che il polinomio al numeratore è di un grado maggiore rispetto al denominatore, per cui è possibile che esista asintoto obliquo. Lo calcolo e ottengo per $lim_(x -> +oo ) f(x)*1/x$ un valore di -1 (la mia m), calcolo poi il limite $lim_(x -> -oo ) f(x)-mx$ ottengo una q=+3, quindi con un'equazione della mia retta $y=-x+3$. E questo dovrebbe venire giusto, anche perchè la retta passa per il punto di coordinate (3,0).
-Studio dove è positiva o negativa o ottengo che fino a 3 è sempre positiva e poi sempre negativa, faccio il grafico disegnando i due asintoti e cancellando le zone in cui non potrà esistere la mia funzione.
-Ora calcolo i punti di intersezione con gli assi, con due sistemi, uno dato dalla mia $f(x)$ con $y=0$, ottenendo un punto di coordinate (3,0), cioè un punto in cui la funzione non esiste, è possibile? Sbaglio i calcoli?
Con il sistema invece $f(x)$ con $x=0$ ottengo $+10/3$, un po' più di tre, un valore plausibile, vicino al mio asintoto obliquo.
-Calcolo la mia derivata prima di $f(x)$, ottenendo $f'(x)=(-x^2 - 6x -8)/(x^2 -6x+9)$. Da qui non so come proseguire, ho guardati i tanti testi e molto su vari forum e internet, ho capito che devo porre questa $f'(x)$ maggiore di zero, faccio i Delta per le due equazioni, e ottengo al numeratore valori per l'equazione di $x(1,2)= -2, -4 e al denominatore invece $x(1=2)= +3$. Ma con questi risultati cosa capisco? Cosa ottengo? E come proseguo?
Come disegno poi il grafico?
Grazie mille a tutti!!!
S
Risposte
"Stealbi":
i miei dubbi riguardano lo studio di funzione, lo so che sarà per voi banale e per questo mi scuso!
I miei riguardano l'analisi complessa che per molti utenti saranno quesiti scemi, non per questo mi scuso però dato che una delle finalità del sito è aiutare gli studenti nei loro crucci matematici (che è ben diverso dal "risolvere gli esercizi").
"Stealbi":
1)Studio di funzione: $f(x)=(-x^2 + 6x -10)/(x-3)$
-Trovo il dominio, faccio il Delta e trovo che ha solo valori negativi per cui tutta la funzione a numeratore sarà sempre negativa, mentre so che a denominatore non può starci lo 0, per cui l'unico valore che annulla la funzione è +3. Da qui il dominio, $ AA x in RR - [+3] $, che posso scrivere anche come intervallo $ (-oo , +3)uu(+3, +oo) $, qui il primo dubbio, non dovrei scriverlo con le parentesi quadre vicino al 3? Il 3 non dovrebbe essere compreso nella funzione, perchè l'annulla, e quindi lì la funzione non esiste (giusto?).
Scrivere $(-\infty , 3) \cup (3, +\infty)$ equivale a dire, come hai detto, "tutto $\RR$ tranne il valore $3$".
Se il tuo dubbio invece era quest'altro, cioè $(-\infty, 3]\cup [3, +\infty)$ questa scrittura equivale a dire $\RR$. La parentesi quadra aperta (o all'infuori) equivale a dire che "non si prende il punto" (equivalente alla tonda) mentre la chiusa è per prenderlo il punto. Se tu intendi "parentesi quadre vicino al 3" come chiuse così come ho scritto ora, vuol dire che il $3$ lo prendi e, in sostanza, il dominio lo conti come tutto $\RR$ cosa che non va bene, dato che hai visto che non è definita per $x=3$.
"Stealbi":
Calcolo allora il limite $lim_(x -> +3 ) (-x^2 + 6x -10)/(x-3) $, e qui mi sorge il secondo dubbio, se applicassi anche qui la gerarchia dei limiti otterrei -9, e so che è sicuramente sbagliato, in quanto +3 è un punto in cui la funzione non esiste. Per questo risolvo e ottengo $-1/0$ che mi da come risultato $-oo$, per cui esiste asintoto verticale, appunto +3 (risultato certo visto che a +3 non esiste la funzione, però come scelgo se utilizzare o no la gerarchia dei limiti? Solo se ottengo forme indeterminate? Quindi il passaggio prima per il limiti a $pm oo$ è sbagliato?)
La gerarchia dei limiti vale solo per $x\to 0$ o $x \to +\infty$. Ora, per $x\to 3$ hai che il numeratore tende a valere $-13$ mentre il denominatore tende a zero.
Occorre fare il limite destro e sinistro che sono differenti perché tendendo da destra o da sinistra la funzione ha segno diverso dovuto al denominatore che a sinistra è negativo ed a destra è positivo). Detto ciò avrai un limite - sia da destra che da sinistra - "numero fratto zero (positivo o negativo a seconda che tendi da destra o sinistra)" che ti darà $+-\infty$ sempre a seconda da dove tendi.
"Stealbi":
-Studio dove è positiva o negativa o ottengo che fino a 3 è sempre positiva e poi sempre negativa, faccio il grafico disegnando i due asintoti e cancellando le zone in cui non potrà esistere la mia funzione.
Infatti, proprio come ho detto nella faccenda del limite.
"Stealbi":
-Ora calcolo i punti di intersezione con gli assi, con due sistemi, uno dato dalla mia $f(x)$ con $y=0$, ottenendo un punto di coordinate (3,0), cioè un punto in cui la funzione non esiste, è possibile? Sbaglio i calcoli?
Tu hai $y=f(x)=(-x^2+6x-10)/(x-3)$ quando trovi i punti di intersezione della stessa con l'asse $x$ poni, come hai fatto, $y=0$ e quindi (almeno nella tua mente) l'idea è di risolvere il sistema
$( (y=0) , (y=(-x^2+6x-10)/(x-3)) )$
(Nota: quello doveva essere un sistema, è che non mi ricordo come si fa il sistema con il Latex e non esiste più il pulsante delle formule quando si scrivono i messaggi!)
Quindi, il succo è risolvere
$(-x^2+6x-10)/(x-3)=0$ che, per vedere quando si annulla, bisogna vedere "quando si annulla il numeratore" cioè mai dato che, come hai già visto, il delta è negativo.
L'annullamento del denominatore serve a vedere quando non è definita, non quando si annulla la funzione.
"Stealbi":
-Calcolo la mia derivata prima di $f(x)$, ottenendo $f'(x)=(-x^2 - 6x -8)/(x^2 -6x+9)$. Da qui non so come proseguire, ho guardati i tanti testi e molto su vari forum e internet, ho capito che devo porre questa $f'(x)$ maggiore di zero, faccio i Delta per le due equazioni, e ottengo al numeratore valori per l'equazione di $x(1,2)= -2, -4$ e al denominatore invece $x(1=2)= +3$. Ma con questi risultati cosa capisco? Cosa ottengo? E come proseguo?
Capisci due cose:
- la derivata si annulla in $-2$ e $-4$ dunque in quei punti c'è un minimo/massimo locale (da capire in seguito, studiando il segno della derivata stessa);
- il denominatore della derivata si annulla in $x=3$ il che era abbastanza prevedibile dato che nella formula di derivazione di una funzione frazionaria al denominatore c'è quello di partenza al quadrato. Questo vuol dire che in $x=3$ la derivata non è definita.
Il grafico lo disegni approssimativamente nel corso dello studio di funzione. Non c'è una regola precisa da seguire.
Ciaociao
"Zero87":
Capisci due cose:
- la derivata si annulla in $-2$ e $-4$ dunque in quei punti c'è un minimo/massimo locale (da capire in seguito, studiando il segno della derivata stessa);
- il denominatore della derivata si annulla in $x=3$ il che era abbastanza prevedibile dato che nella formula di derivazione di una funzione frazionaria al denominatore c'è quello di partenza al quadrato. Questo vuol dire che in $x=3$ la derivata non è definita.
Il grafico lo disegni approssimativamente nel corso dello studio di funzione. Non c'è una regola precisa da seguire.
Ciaociao
Ho solo un dubbio su questa parte, una volta che ho i miei $-2$ e $-4$, e trovo studiando che uno è un punto di minimo e l'altro di massimo. Ora so che con la derivata prima io studio "l'asse x", ma le coordinate di un punto sono (x,y), quindi dove posiziono i miei valori?
Spero di essermi spiegato!
Grazie mille per la risposta!
Per trovare i valori delle loro ordinate basta sostituire rispettivamente -2 e -4 nella funzione di partenza 
"lobacevskij":
Per trovare i valori delle loro ordinate basta sostituire rispettivamente -2 e -4 nella funzione di partenza
Ottengo i punti quindi $(2,2)$ e $(4,-2)$ giusto?
Grazie
ciao scusa ma se sostituisci -2 fa -(-2)^2+6*-2-10/-2-3
che viene -4-12-10/-5=26/5????????????
che viene -4-12-10/-5=26/5????????????
"gaiapuffo":
ciao scusa ma se sostituisci -2 fa -(-2)^2+6*-2-10/-2-3
che viene -4-12-10/-5=26/5????????????
Scusa ma se davanti al mio $x^2$ ho il meno non ci devo mettere la parantesi, e quindi avrò sempre valori negativi. Sbaglio?
praticamente sarebbe cosi -(-2)^2 che viene -(+4)=-4
"gaiapuffo":
praticamente sarebbe cosi -(-2)^2 che viene -(+4)=-4
si però sarebbe $-(+2)^2$ e poi quello che hai detto tu.
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