Studio di funzione di $sqrt(abs(x+1))e^-x$
Salve a tutti!
Vorrei, dopo vari tentativi sottoporvi un quesito che mi è stato sottoposto all'esame di Analisi all'Università La Sapienza di Roma, corso di Statistica, Economia Finanza e Assicurazioni.
Il quesito è uno studio di funzione.
Come da regolamento ho provato a cercare domande analoghe sul forum utilizzando la funzione di ricerca, ma non sono riuscito a trovare molto, e , di seguito vi propongo un mio tentativo di approccio al problema.
Il quesito è il seguente;
Studiare il grafico della funzione
$\sqrt{|x+1|}e^{-x}$
Dominio; $(-\infty,+\infty)$
Simmetrie; Nessuna
Intersezioni con gli assi;
asse x = A(-1,0)
asse y = B(0,1)
Limiti;
$\lim_{x\to -\infty} {sqrt(abs(x+1))e^(-x)} = \infty$
$\lim_{n\+ \infty} {sqrt(abs(x+1))e^(-x)} = 0$
(per De L'Hopital)
Derivata prima;
$y'= 1/(2sqrt(abs(x+1)))*(x+1)/abs(x+1)*e^(-x)-e^(-x)sqrt(abs(x+1))$
$=(x+1)/(2abs(x+1)^(3/2))e^(-x)-e^(-x)abs(x+1)^(1/2)$
Ora senza dilungarmi troppo, anche perché sono pessimo col Latex, arrivo, al fine di studiare l'insieme di positività della derivata, a scomporre il modulo. ( studio due derivate distinte; una per il caso $x+1>=0$ e una per il caso $x+1<0$)
Ipotizzo poi che il segno della derivata dipenda solo dal numeratore e ne studio il segno.
Arrivo dunque a risolvere delle disequazioni di secondo grado. Qui mi perdo, perché;
-caso $x+1>0$
-la prima disequazione ( salvo errori) è verificata per $x<-1$ oppure $x>-1/2$
-qui penso di scartare l'insieme di soluzioni $x<-1$ poiché sono nel caso $x+1>0$
Ripeto un ragionamento analogo per il caso in cui $x+1<0$.
A questo punto metto insieme i risultati in un grafico per lo studio del segno e non mi torna nulla.
Intanto noto che la derivata non è definita per $x=-1$ mentra la $f(x)$ sì.
Potrei essere quindi per $x=-1$ in un punto angoloso(?).
A questo punto non so più cosa fare, ne cosa farne dei punti in cui si annulla la derivata…
Grazie in anticipo, un saluto a tutti!!
Vorrei, dopo vari tentativi sottoporvi un quesito che mi è stato sottoposto all'esame di Analisi all'Università La Sapienza di Roma, corso di Statistica, Economia Finanza e Assicurazioni.
Il quesito è uno studio di funzione.
Come da regolamento ho provato a cercare domande analoghe sul forum utilizzando la funzione di ricerca, ma non sono riuscito a trovare molto, e , di seguito vi propongo un mio tentativo di approccio al problema.
Il quesito è il seguente;
Studiare il grafico della funzione
$\sqrt{|x+1|}e^{-x}$
Dominio; $(-\infty,+\infty)$
Simmetrie; Nessuna
Intersezioni con gli assi;
asse x = A(-1,0)
asse y = B(0,1)
Limiti;
$\lim_{x\to -\infty} {sqrt(abs(x+1))e^(-x)} = \infty$
$\lim_{n\+ \infty} {sqrt(abs(x+1))e^(-x)} = 0$
(per De L'Hopital)
Derivata prima;
$y'= 1/(2sqrt(abs(x+1)))*(x+1)/abs(x+1)*e^(-x)-e^(-x)sqrt(abs(x+1))$
$=(x+1)/(2abs(x+1)^(3/2))e^(-x)-e^(-x)abs(x+1)^(1/2)$
Ora senza dilungarmi troppo, anche perché sono pessimo col Latex, arrivo, al fine di studiare l'insieme di positività della derivata, a scomporre il modulo. ( studio due derivate distinte; una per il caso $x+1>=0$ e una per il caso $x+1<0$)
Ipotizzo poi che il segno della derivata dipenda solo dal numeratore e ne studio il segno.
Arrivo dunque a risolvere delle disequazioni di secondo grado. Qui mi perdo, perché;
-caso $x+1>0$
-la prima disequazione ( salvo errori) è verificata per $x<-1$ oppure $x>-1/2$
-qui penso di scartare l'insieme di soluzioni $x<-1$ poiché sono nel caso $x+1>0$
Ripeto un ragionamento analogo per il caso in cui $x+1<0$.
A questo punto metto insieme i risultati in un grafico per lo studio del segno e non mi torna nulla.
Intanto noto che la derivata non è definita per $x=-1$ mentra la $f(x)$ sì.
Potrei essere quindi per $x=-1$ in un punto angoloso(?).
A questo punto non so più cosa fare, ne cosa farne dei punti in cui si annulla la derivata…
Grazie in anticipo, un saluto a tutti!!
Risposte
sono pessimo col Latex
Sì, è abbastanza illeggibile quel che hai scritto
La derivata della funzione che devi studiare, fuori da zero, è \(x\mapsto \frac{e^{-x}\left(\text{sgn}(x+1)-2\left|x+1\right|\right)}{2\sqrt{\left|x+1\right|}}\); questa è positiva quando il numeratore è positivo (perché il denominatore lo è sempre). Quindi, per quali $x\in RR$ è maggiore di zero la quantità \(e^{-x}\left(\text{sgn}(x+1)-2\left|x+1\right|\right)\)? Chiaramente per quegli $x\in RR$ tali che \(\text{sgn}(x+1)-2\left|x+1\right|\ge 0\); questi sono gli $x\in RR$ tali che...
"killing_buddha":sono pessimo col Latex
Sì, è abbastanza illeggibile quel che hai scritto
La derivata della funzione che devi studiare, fuori da zero, è \(x\mapsto \frac{e^{-x}\left(\text{sgn}(x+1)-2\left|x+1\right|\right)}{2\sqrt{\left|x+1\right|}}\); questa è positiva quando il numeratore è positivo (perché il denominatore lo è sempre). Quindi, per quali $x\in RR$ è maggiore di zero la quantità \(e^{-x}\left(\text{sgn}(x+1)-2\left|x+1\right|\right)\)? Chiaramente per quegli $x\in RR$ tali che \(\text{sgn}(x+1)-2\left|x+1\right|\ge 0\); questi sono gli $x\in RR$ tali che...
Proprio nello studio dell'insieme di positività della derivata mi bloccavo.. Non so come mai ma dai calcoli mi risultava che la derivata si annullasse dopo il primo punto di intersezione con l'asse x...
Ti consiglierei di discutere il valore assoluto prima di calcolare le derivate, riduci la complessità dei calcoli, anche se è come studiassi due funzioni, una da $(-1,+\infty)$ e l'altra da $(-\infty,-1)$. C'è un punto angoloso in $-1$ e questo te lo dice il valore assoluto (e quando c'è il valore assoluto, c'è sempre puzza di punto angoloso). Credo che facendo questa distinzione all'inizio e rifacendo i conti, non dovresti avere alcun problema.
Ti ringrazio. Ora provo a fare così e se mi riesce posto qui lo svolgimento!!
ok. Ho risolto quasi tutto. Ora per concludere devo solo risolvere limite destro e sinistro della derivata nel punto $x = -1$ che so essere un punto angoloso.
Solo che non riesco a capire come possa esserci uno "zero meno" sotto radice.
$\lim_{x \to -1-} e^(-x)((2x+1)/(2sqrt(-x-1))) $
$\lim_{x \to -1+} e^(-x)(-(2x+1)/(2sqrt(x+1))) $
Come posso fare?
Grazie in anticipo.
Solo che non riesco a capire come possa esserci uno "zero meno" sotto radice.
$\lim_{x \to -1-} e^(-x)((2x+1)/(2sqrt(-x-1))) $
$\lim_{x \to -1+} e^(-x)(-(2x+1)/(2sqrt(x+1))) $
Come posso fare?
Grazie in anticipo.
Non capisco dove troveresti quello $0^-$.
Infatti:
$ \lim_{x \to -1-} e^(-x)((2x+1)/(2sqrt(-x-1)))= [e^(-(-1^-))((2(-1^-)+1)/(2sqrt(-(-1^-)-1)))] =[e^(1^+)((2(-1^-)+1)/(2sqrt((1^+)-1)))]= e(-1/(2sqrt(0^+)))=-\infty$
Analogamente:
$ \lim_{x \to -1+} e^(-x)(-(2x+1)/(2sqrt(x+1)))= ...=e(+1/(2sqrt(0^+)))=+\infty$
Puoi guardare il grafico della funzione intera qui:
Infatti:
$ \lim_{x \to -1-} e^(-x)((2x+1)/(2sqrt(-x-1)))= [e^(-(-1^-))((2(-1^-)+1)/(2sqrt(-(-1^-)-1)))] =[e^(1^+)((2(-1^-)+1)/(2sqrt((1^+)-1)))]= e(-1/(2sqrt(0^+)))=-\infty$
Analogamente:
$ \lim_{x \to -1+} e^(-x)(-(2x+1)/(2sqrt(x+1)))= ...=e(+1/(2sqrt(0^+)))=+\infty$
Puoi guardare il grafico della funzione intera qui:
Grazie mille!
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