Studio di funzione con valore assoluto e limite con forma indeterminata
Salve, sto provando a studiare la funzione
$ f(x) = x * e^((|x|-1)/x) $
Il dominio è R-{0}
La funzione non mi risulta né pari né dispari
f(x) è positiva a destra di 0 e negativa a sinistra di 0.
A causa del dominio non vi sono alcuni intersezioni con alcun asse.
Il punto $ (f(x); 0) $ è di discontinuità di 3a specie.
A questo punto calcolo i limiti..
$lim_(x->0^+)(x * e^((|x|-1)/x)) = 0*e^(-oo)=0*0=0$
ma per quanto riguarda
$lim_(x->0^-)(x * e^((|x|-1)/x)) = 0*e^(+oo)=0*+oo$
non saprei compre proseguire..
grazie.
$ f(x) = x * e^((|x|-1)/x) $
Il dominio è R-{0}
La funzione non mi risulta né pari né dispari
f(x) è positiva a destra di 0 e negativa a sinistra di 0.
A causa del dominio non vi sono alcuni intersezioni con alcun asse.
Il punto $ (f(x); 0) $ è di discontinuità di 3a specie.
A questo punto calcolo i limiti..
$lim_(x->0^+)(x * e^((|x|-1)/x)) = 0*e^(-oo)=0*0=0$
ma per quanto riguarda
$lim_(x->0^-)(x * e^((|x|-1)/x)) = 0*e^(+oo)=0*+oo$
non saprei compre proseguire..
grazie.
Risposte
Prova a scrivere l'esponente come $\frac{|x|-1}{x}=\frac{|x|}{x}-\frac{1}{x}$ e prova a scrivere la $x$ che moltiplica gli esponenziali come $x=\frac{1}{\frac{1}{x}}$; inoltre, quando $x \to 0^+$, come si comporta $|x|$? E come si comporta $|x|$ per $x \to 0^-$?
"Mephlip":
Prova a scrivere l'esponente come $\frac{|x|-1}{x}=\frac{|x|}{x}-\frac{1}{x}$ e prova a scrivere la $x$ che moltiplica gli esponenziali come $x=\frac{1}{\frac{1}{x}}$; inoltre, quando $x \to 0^+$, come si comporta $|x|$? E come si comporta $|x|$ per $x \to 0^-$?
In questo modo mi esce un
$lim_(x->0^(-))(e^(0-*(+oo)))/(1/x)$
Quindi ancora una volta rimane lo $0*oo$
Inoltre non credo che per il limite a $0^+$ influisca il valore assoluto, mentre per $0^-$ esso rende lo 0 per cui moltiplica l'infinito un valore infinitesimo ma negativo piuttosto che positivo.
Il risultato del limite per $x \to 0^+$ è giusto!
Per l'altro, hai
$$\lim_{x \to 0^-} xe^{\frac{|x|-1}{x}}=\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{-x}{x}-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-1-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{+\infty}}{-\infty}=-\infty$$
Se non scrivi i tuoi calcoli per intero non è facile capire dove sia l'errore: se l'ultimo passaggio non ti convince, prova in esso la sostituzione $y=-\frac{1}{x}$.
Per l'altro, hai
$$\lim_{x \to 0^-} xe^{\frac{|x|-1}{x}}=\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{-x}{x}-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-1-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{+\infty}}{-\infty}=-\infty$$
Se non scrivi i tuoi calcoli per intero non è facile capire dove sia l'errore: se l'ultimo passaggio non ti convince, prova in esso la sostituzione $y=-\frac{1}{x}$.
"Mephlip":
Il risultato del limite per $x \to 0^+$ è giusto!
Per l'altro, hai
$$\lim_{x \to 0^-} xe^{\frac{|x|-1}{x}}=\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{-x}{x}-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-1-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{+\infty}}{-\infty}=-\infty$$
Se non scrivi i tuoi calcoli per intero non è facile capire dove sia l'errore: se l'ultimo passaggio non ti convince, prova in esso la sostituzione $y=-\frac{1}{x}$.
Grazie mille, ma nell'ultimo passaggio dove si ha l'altra forma indetermianta infinito/infinito, hai usato la gerarchia degli infiniti e infinitesimi? Perchè non trovo ne sui miei libri ne facilmente su internet delle lezioni che spieghino bene come utilizzare la scala di infiniti e infinitesimi.
Prego!
Esattamente, ho usato la gerarchia degli infiniti.
Infatti uno potrebbe avere il dubbio "ok la gerarchia degli infiniti, ma quella rimane comunque una forma indeterminata; come dimostro rigorosamente che il limite è determinato dal fatto che l'esponenziale batte la potenza?".
Diciamo che neanche io ho trovato, quando ho studiato analisi 1, una vera e propria spiegazione sul funzionamento generale della gerarchia degli infiniti sui miei libri di testo; suppongo si usi il criterio del rapporto/il criterio della radice per successioni.
Usandoli noterai una certa ricorrenza, ossia che in caso di esponenziali su potenze, o esponenziali su potenze che moltiplicano logaritmi, ecc., il limite tende sempre all'infinito; quindi questo fenomeno poi si concretizza nella "gerarchia degli infiniti", ossia si dice che l'esponenziale batte sempre le potenze all'infinito, batte le potenze moltiplicate a logaritmi, ecc..
Spero di esserti stato d'aiuto
Esattamente, ho usato la gerarchia degli infiniti.
Infatti uno potrebbe avere il dubbio "ok la gerarchia degli infiniti, ma quella rimane comunque una forma indeterminata; come dimostro rigorosamente che il limite è determinato dal fatto che l'esponenziale batte la potenza?".
Diciamo che neanche io ho trovato, quando ho studiato analisi 1, una vera e propria spiegazione sul funzionamento generale della gerarchia degli infiniti sui miei libri di testo; suppongo si usi il criterio del rapporto/il criterio della radice per successioni.
Usandoli noterai una certa ricorrenza, ossia che in caso di esponenziali su potenze, o esponenziali su potenze che moltiplicano logaritmi, ecc., il limite tende sempre all'infinito; quindi questo fenomeno poi si concretizza nella "gerarchia degli infiniti", ossia si dice che l'esponenziale batte sempre le potenze all'infinito, batte le potenze moltiplicate a logaritmi, ecc..
Spero di esserti stato d'aiuto
"Mephlip":
Prego!
Esattamente, ho usato la gerarchia degli infiniti.
Infatti uno potrebbe avere il dubbio "ok la gerarchia degli infiniti, ma quella rimane comunque una forma indeterminata; come dimostro rigorosamente che il limite è determinato dal fatto che l'esponenziale batte la potenza?".
Diciamo che neanche io ho trovato, quando ho studiato analisi 1, una vera e propria spiegazione sul funzionamento generale della gerarchia degli infiniti sui miei libri di testo; suppongo si usi il criterio del rapporto/il criterio della radice per successioni.
Usandoli noterai una certa ricorrenza, ossia che in caso di esponenziali su potenze, o esponenziali su potenze che moltiplicano logaritmi, ecc., il limite tende sempre all'infinito; quindi questo fenomeno poi si concretizza nella "gerarchia degli infiniti", ossia si dice che l'esponenziale batte sempre le potenze all'infinito, batte le potenze moltiplicate a logaritmi, ecc..
Spero di esserti stato d'aiuto
Praticamente quindi è perchè si ha, nella scala degli infiniti, n*x che è più lento di n^x, con x all'infinito. Almeno credo sia così il ragionamento, ho trovato questo schema degli ordini su internet ma non sui miei libri, e nessuna spiegazione su come e quando utilizzarli allegata.
A questo punto scoeprto ciò ho che quindi l'asse y è un as.verticale da sinistra, e non ho asintoti orizzontali.
Però quando calcolo la m per l'as. obliquo, ho due valori a causa del valore assoluto che cambia a seconda che x tenda a + o - infinito.
$m= e$
$m= 1/e $
Come dovrei procedere in questo caso?
Grazie.
In tal caso semplicemente ne ha due di asintoti obliqui, uno a $+\infty$ ed uno a $-\infty$.
Non ho controllato i tuoi conti, perché pensavo che il tuo problema fosse il calcolo del limite; quindi devi confidare nei tuoi conti. Se sono corretti, allora ha due asintoti obliqui!
Comunque ti consiglio di usare i criteri che ti ho detto per le successioni, ossia per $\alpha n$ e per $\alpha^n$; poi puoi trasportare i risultati alle funzioni col criterio successioni-funzioni (o anche detto teorema ponte)
Esempio di base:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{e^n}{n}$$
Applico il criterio del rapporto, ossia studio
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}=\lim_{n \to +\infty} \frac{ e \cdot e^{n} \cdot n}{e^n (n+1)}=\lim_{n \to +\infty} e \cdot \frac{n}{n+1}=\lim_{n \to +\infty} e \cdot \frac{n}{n \left(1+\frac{1}{n}\right)}=e$$
Essendo $e>1$, per il criterio del rapporto per successioni si ha che il limite è $+\infty$; ti sarà chiaro che ciò non cambia se si alza quanto si vuole il grado della potenza al denominatore, pertanto si dice che nella gerarchia degli infiniti l'esponenziale "domina" sulle potenze di ogni grado.
Per il criterio successioni-funzioni segue dunque che anche
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty$$
Spero sia chiaro!
P.S: Se rispondi all'ultimo utente che ha scritto non c'è necessità di citare tutto, magari cita solo i blocchi a cui ti stai riferendo (se hai necessità di riferirti a qualcosa) o il tuo messaggio diventa inutilmente lungo
Non ho controllato i tuoi conti, perché pensavo che il tuo problema fosse il calcolo del limite; quindi devi confidare nei tuoi conti. Se sono corretti, allora ha due asintoti obliqui!
Comunque ti consiglio di usare i criteri che ti ho detto per le successioni, ossia per $\alpha n$ e per $\alpha^n$; poi puoi trasportare i risultati alle funzioni col criterio successioni-funzioni (o anche detto teorema ponte)
Esempio di base:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{e^n}{n}$$
Applico il criterio del rapporto, ossia studio
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}=\lim_{n \to +\infty} \frac{ e \cdot e^{n} \cdot n}{e^n (n+1)}=\lim_{n \to +\infty} e \cdot \frac{n}{n+1}=\lim_{n \to +\infty} e \cdot \frac{n}{n \left(1+\frac{1}{n}\right)}=e$$
Essendo $e>1$, per il criterio del rapporto per successioni si ha che il limite è $+\infty$; ti sarà chiaro che ciò non cambia se si alza quanto si vuole il grado della potenza al denominatore, pertanto si dice che nella gerarchia degli infiniti l'esponenziale "domina" sulle potenze di ogni grado.
Per il criterio successioni-funzioni segue dunque che anche
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty$$
Spero sia chiaro!
P.S: Se rispondi all'ultimo utente che ha scritto non c'è necessità di citare tutto, magari cita solo i blocchi a cui ti stai riferendo (se hai necessità di riferirti a qualcosa) o il tuo messaggio diventa inutilmente lungo
Il problema è che in questo caso ho sia segni opposti agli esponenti (-1/x come esponente al numeratore e 1/x al denominatore), e anche il limite che tende solo da sinistra e quindi anch'esso influisce con i segni.
Perciò in questo preciso caso è più difficoltoso attuare i calcoli.
Oppure, forse, mi basta semplicemente rendere il denominatore negativo trasformando
$ (1/e) * lim_(x->0^-)e^(-1/x)/(1/x) $
in
$ (1/-e) * lim_(x->0^-)e^(-1/x)/(-1/x) $
e quindi avendo ad ambodue le parti $-1/x $ ?
In questo caso come influirebbe il $0^-$ ?
Perciò in questo preciso caso è più difficoltoso attuare i calcoli.
Oppure, forse, mi basta semplicemente rendere il denominatore negativo trasformando
$ (1/e) * lim_(x->0^-)e^(-1/x)/(1/x) $
in
$ (1/-e) * lim_(x->0^-)e^(-1/x)/(-1/x) $
e quindi avendo ad ambodue le parti $-1/x $ ?
In questo caso come influirebbe il $0^-$ ?
$0^-$ è solo una scrittura formale per dire che ti avvicini a $0$ venendo da valori negativi; puoi anche fare ragionamenti molto intuitivi come considerare $0^{-} \approx -0,00000...000001$ ed applicare l'algebra. Ossia avresti
$$\frac{1}{e} \cdot \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{0^-}}}{\frac{1}{0^-}}$$
Ora usi la classica regola dei segni, ossia che $-$ diviso $-$ fa $+$, quindi dato che $0^{-}$ è una quantità negativa (avvicinandosi a zero da sinistra) si ha che $-\frac{1}{0^{-}}=\frac{1}{0^{+}}$; analogamente puoi "raccogliere" a fattor comune un meno al denominatore, ossia $\frac{1}{0^-}=-\frac{1}{0^+}$ e dunque
$$\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{0^-}}}{\frac{1}{0^-}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{\frac{1}{0^+}}}{-\frac{1}{0^+}}$$
Adesso usi il fatto che, essendo divisi per quantità che tendono a zero da destra, si ha che $\frac{1}{0^+}=+\infty$; dunque
$$\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{\frac{1}{0^+}}}{-\frac{1}{0^+}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{+\infty}}{-\infty}=-\frac{1}{e} \cdot \frac{+\infty}{+\infty}$$
E per il discorso fatto prima sai che sopra hai un infinito di ordine superiore (esponenziale) mentre al denominatore ne hai uno polinomiale; perciò
$$-\frac{1}{e} \frac{+\infty}{+\infty}=-\frac{1}{e} \cdot {+\infty}=-\infty$$
Altrimenti, se ti confondono i segni meno, potresti direttamente porre $y=-x$; dunque hai che, se $x \to 0^-$, risulta che $y \to 0^+$ e fai tutto con $y \to 0^+$
$$\frac{1}{e} \cdot \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{0^-}}}{\frac{1}{0^-}}$$
Ora usi la classica regola dei segni, ossia che $-$ diviso $-$ fa $+$, quindi dato che $0^{-}$ è una quantità negativa (avvicinandosi a zero da sinistra) si ha che $-\frac{1}{0^{-}}=\frac{1}{0^{+}}$; analogamente puoi "raccogliere" a fattor comune un meno al denominatore, ossia $\frac{1}{0^-}=-\frac{1}{0^+}$ e dunque
$$\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{0^-}}}{\frac{1}{0^-}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{\frac{1}{0^+}}}{-\frac{1}{0^+}}$$
Adesso usi il fatto che, essendo divisi per quantità che tendono a zero da destra, si ha che $\frac{1}{0^+}=+\infty$; dunque
$$\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{\frac{1}{0^+}}}{-\frac{1}{0^+}}=\frac{1}{e} \cdot \frac{e^{+\infty}}{-\infty}=-\frac{1}{e} \cdot \frac{+\infty}{+\infty}$$
E per il discorso fatto prima sai che sopra hai un infinito di ordine superiore (esponenziale) mentre al denominatore ne hai uno polinomiale; perciò
$$-\frac{1}{e} \frac{+\infty}{+\infty}=-\frac{1}{e} \cdot {+\infty}=-\infty$$
Altrimenti, se ti confondono i segni meno, potresti direttamente porre $y=-x$; dunque hai che, se $x \to 0^-$, risulta che $y \to 0^+$ e fai tutto con $y \to 0^+$
Riguardo a prima, non sapevo che quando si ha il modulo di x, si potesse decidere se scriverla come x oppure -x guardando se tende da sinistra a destra ancora prima di effettuare la sostituzione della variabile, pensavo non fosse corretto. Buono a sapersi.
In ogni caso come detto nell'ultimo post posso semplificarmi la vita anche portando il - del denominatore fuori per rendere uguali i due valori (esponenziale e denominatore), giusto?
Per quanto riguarda gli asintoti obliqui, ho detto di avere due m.
m1=e
m2=1e
Usando geogebra effettivamente ho due asintoti obliqui.
Il problema è che a questo punto per ogni m ho due q, e se provo a svolgere i limiti ogni q, usando qualche software di calcolo per avere una vaga idea di dove andare a parare, da soluzioni molto lunghe e laboriose che non ho compreso appieno nella logica, quindi farla per ogni q è un macello. Tuttavia, intendendo q1 come il risultato del limite a +infinito, ho
y=m1⋅x+q1
che è effettivamente un asintoto obliquo ed è corretto in quanto è ciò a cui tende il grafico a destra.
E poi a questo punto non so se dovrei calcolare pure la seconda q relativa al primo m.
Questo è ciò che faccio:
$m1=\lim_{n \to +\infty}x⋅e^((|x|−1)/x)/x=e$
$m2=\lim_{n \to -\infty}x⋅e^((|x|−1)/x)/x=1/e$
$q1(m1)=\lim_{n \to +\infty}x⋅e^((x−1)/x)−e⋅x $
$q2(m1)=\lim_{n \to -\infty}x⋅e^((x−1)/x)−e⋅x$
e già i q1 e q2 relativi a m1 son praticamente stranamente troppo lunghi da risolvere... forse c'è qualche altro metodo che mi sta sfuggendo?
In ogni caso come detto nell'ultimo post posso semplificarmi la vita anche portando il - del denominatore fuori per rendere uguali i due valori (esponenziale e denominatore), giusto?
Per quanto riguarda gli asintoti obliqui, ho detto di avere due m.
m1=e
m2=1e
Usando geogebra effettivamente ho due asintoti obliqui.
Il problema è che a questo punto per ogni m ho due q, e se provo a svolgere i limiti ogni q, usando qualche software di calcolo per avere una vaga idea di dove andare a parare, da soluzioni molto lunghe e laboriose che non ho compreso appieno nella logica, quindi farla per ogni q è un macello. Tuttavia, intendendo q1 come il risultato del limite a +infinito, ho
y=m1⋅x+q1
che è effettivamente un asintoto obliquo ed è corretto in quanto è ciò a cui tende il grafico a destra.
E poi a questo punto non so se dovrei calcolare pure la seconda q relativa al primo m.
Questo è ciò che faccio:
$m1=\lim_{n \to +\infty}x⋅e^((|x|−1)/x)/x=e$
$m2=\lim_{n \to -\infty}x⋅e^((|x|−1)/x)/x=1/e$
$q1(m1)=\lim_{n \to +\infty}x⋅e^((x−1)/x)−e⋅x $
$q2(m1)=\lim_{n \to -\infty}x⋅e^((x−1)/x)−e⋅x$
e già i q1 e q2 relativi a m1 son praticamente stranamente troppo lunghi da risolvere... forse c'è qualche altro metodo che mi sta sfuggendo?
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