Studio di funzione con valore assoluto
Ciao a tutti, mi sto preparando per l'esame di analisi 1, e su un vecchio compito del mio professore c'è questo studio di funzione:
$ f(x)=(|4x-5|)^(1/3)-(|x|)^(1/3) $
E chiede:
1) Determinare in quali punti è derivabile
2) Intervallo di decrescenza
Ora, per il punto (1) direi nei punti $x=(5/4) e x=0$ poichè la funzione valore assoluto non è derivabile quando l'argomento vale 0.
Per il (2) invece non so come procedere, una volta derivato mi salta fuori:
$ f'(x)=[(4/3)(|4x-5|)^(-2/3) * sgn(x)]-[(1/3)|x|^(-2/3)*sgn(x]) $
Per studiare il segno della derivata e dunque gli intervalli di monotonia, come posso fare?
Io ho ragionato abbastanza intuitivamente trovando i punti estremanti f'(x)=0 e trovando che:
$x=0$ è un massimo
$x=(5/4)$ è un minimo.
Però mi rendo conto che non so procedere correttamente, in quanto non so come studiare il segno di quella derivata.
Qualche suggerimento/correzione?
[/tex]
$ f(x)=(|4x-5|)^(1/3)-(|x|)^(1/3) $
E chiede:
1) Determinare in quali punti è derivabile
2) Intervallo di decrescenza
Ora, per il punto (1) direi nei punti $x=(5/4) e x=0$ poichè la funzione valore assoluto non è derivabile quando l'argomento vale 0.
Per il (2) invece non so come procedere, una volta derivato mi salta fuori:
$ f'(x)=[(4/3)(|4x-5|)^(-2/3) * sgn(x)]-[(1/3)|x|^(-2/3)*sgn(x]) $
Per studiare il segno della derivata e dunque gli intervalli di monotonia, come posso fare?
Io ho ragionato abbastanza intuitivamente trovando i punti estremanti f'(x)=0 e trovando che:
$x=0$ è un massimo
$x=(5/4)$ è un minimo.
Però mi rendo conto che non so procedere correttamente, in quanto non so come studiare il segno di quella derivata.
Qualche suggerimento/correzione?
[/tex]
Risposte
"g.longhi":
$ f'(x)=[(4/3)(|4x-5|)^(-2/3) * sgn(x)]-[(1/3)|x|^(-2/3)*sgn(x)] $
Attento che nel primo addendo vi è $sgn(4x-5)$, non $sgn(x)$!
$ f'(x)=[(4/3)(|4x-5|)^(-2/3) * sgn(4x-5)]-[(1/3)|x|^(-2/3)*sgn(x)] < 0$
$4(|4x-5|)^(-2/3) * sgn(4x-5) < |x|^(-2/3)*sgn(x)$
Comunque permettimi di dissentire sui tuoi risultati: non mi pare che lì la derivata si annulli, o sbaglio?
Devi spezzare lo studio di questo risultato in 3 intervalli:
$]-oo, 0[$ in cui i segni di entrambi i fattori è negativo
$]0, 5/4[$ in cui $x$ è positivo e $4x-5$ negativo
$]5/4, +oo[$ in cui sono entrambi positivi
In questi intervalli definisci le derivate, e vedi dove risulta negativa!
Per il punto 1) dici bene, ma la causa, più che il valore assoluto, è la presenza della radice (infatti risulta che i punti sono a tangente verticale e non punti angolosi, come accadrebbe per i valori assoluti).
Nel secondo caso, fai attenzione alla derivata: si ha
[tex]$\left(\sqrt[n]{|f(x)|}\right)'=\frac{1}{n}|f(x)|}^{\frac{n-1}{n}}\cdot\frac{f(x)\cdot f'(x)}{|f(x)|}=\frac{1}{n}\cdot f(x)\cdot f'(x)\cdot |f(x)|^{-1/n}$[/tex]
che tra l'altro ti dimostra anche il ragionamento che ti facevo prima sul problema di derivabilità.
Nel secondo caso, fai attenzione alla derivata: si ha
[tex]$\left(\sqrt[n]{|f(x)|}\right)'=\frac{1}{n}|f(x)|}^{\frac{n-1}{n}}\cdot\frac{f(x)\cdot f'(x)}{|f(x)|}=\frac{1}{n}\cdot f(x)\cdot f'(x)\cdot |f(x)|^{-1/n}$[/tex]
che tra l'altro ti dimostra anche il ragionamento che ti facevo prima sul problema di derivabilità.
Sisi chiedo scusa, ho sbagliato a riportare qui sul forum, ma svolgendo l'esercizio l'ho derivata correttamente.
Vi ringrazio siete stati gentilissimi e chiarissimi.
Sicuramente ci sentiamo presto
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Sicuramente ci sentiamo presto
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