Studio di funzione, con valore assoluto.

[galles90]

Buongiorno

vorrei discutere con voi, lo studio di funzione della seguente funzione

$f(x)=|sinx|+|cosx|$

Dominio di $f$ è $X=mathbb{R}$

Periodo di $f$

sia $T_1$ perido di $|sinx| to T_1=pi$
sia $T_2$ perido di $|cosx| to T_2=pi/2$

ne segue che il $m=m.c.m.(T_1,T_2)=pi/2$.

Quindi il periodo della funzione prorposta è $T=pi/2$, quindi possiamo studiare $f$ nell'intervallo $I=[0,pi/2] subset mathbb{R}$.

In tale intervallo possiamo riscrivere
$f(x)=|sinx|+|cosx|leftrightarrow f(x)=sinx+cosx$ per ogni $ x in I$.


Per evitare sforzi, ditemi se sto procendo nel modo corretto.

Cordiali saluti.

[Brancaleone1]

"galles90":
Periodo di $f$

sia $T_1$ perido di $|sinx| to T_1=pi$
sia $T_2$ perido di $|cosx| to T_2=pi/2$

ne segue che il $m=m.c.m.(T_1,T_2)=pi/2$.

Quindi il periodo della funzione prorposta è $T=pi/2$, quindi possiamo studiare $f$ nell'intervallo $I=[0,pi/2] subset mathbb{R}$.

No, l'intervallo da considerare è $I=[-pi,pi]$ - oppure $I=[0,pi]$ sapendo che la funzione è pari

EDIT - Seee buonanotte, stavo considerando $|sin(x)|+cos(x)$... L'intervallo che stai considerando è giusto

[anonymous_0b37e9]

"galles90":
... il periodo della funzione proposta è $T=pi/2$ ...

Certamente, ma non per le considerazioni che hai esposto. Piuttosto:

$f(x+\pi/2)=|sin(x+\pi/2)|+|cos(x+\pi/2)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x)$

In particolare, il periodo della funzione $|cosx|$ è $T=pi$, non $T=pi/2$. Per quanto riguarda lo studio di funzione:

Grafico deducibile

$x in [0,\pi/2[ rarr f(x)=|sinx|+|cosx|=sinx+cosx=sqrt2sin(x+\pi/4)$

[galles90]

Grazie per le risposte.

Vorrei chiarire prima il periodo di $f$.
Come detto "giustamente" da sergenteelias. il periodo di $|cosx|$ è $T_2=pi$ è ricordiamo che il periodo di $|senx|$ è $T_1=pi$

Quindi il $m.c.m(T_1,T_2)=pi=m'$, il quale giustamente è diverso da $m$.

Dove sto sbagliando

[anonymous_0b37e9]

Ammesso e non concesso che, soprattutto nel caso in esame:

$f(x+\pi/2)=|sin(x+\pi/2)|+|cos(x+\pi/2)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x)$

convenga affidarsi a una regola piuttosto che al buon senso:

In definitiva, se i periodi dei due addendi sono uguali, nulla vieta alla loro somma di avere un periodo minore.

[galles90]

"anonymous_0b37e9": In definitiva, se i periodi dei due addendi sono uguali, nulla vieta alla loro somma di avere un periodo minore.

Tralasciando la funzione in esame, il periodo in queste circostanze si sceglie in base al buon senso matematico ?

Ma ripeto quì è chiaro, in quanto hai fatto notare che il periodo in esame è $pi/2$, dato che $f(x+pi/2)=f(x)$.

Prendo $f(x)=sqrt(2)sin(x+pi/4)$ per ogni $x in I$.

La funzione per come è posta risulta sempre derivabile, quindi

$forall x in I$

$f'(x)=sqrt(2)cos(x+pi/4)$

$f'(x)>0 to sqrt(2)>0 vee cos(x+pi/4)>0$

[anonymous_0b37e9]

"galles90":
... il periodo in queste circostanze ...

Direi proprio di sì. Ad ogni modo, se esiste una regola che possa evitare di prendere un granchio ben venga.

"galles90":
Prendo ...

Quella curva è un grafico deducibile:

La funzione $sinx$ traslata verso sinistra di $\pi/4$ e la cui oscillazione ha ampiezza $sqrt2$.

Ti sconsiglio di studiarla come se fosse una qualsiasi funzione meno elementare. Soprattutto perchè sono competenze che ti possono essere richieste.

[galles90]

Ciao sergentelias,

penso che ci sia qualcosa che non và.
L'immagine che ho caricato, è il grafico di $f$ in questione.

Si nota che nell'intervallo $A=[0,pi]$ si ha un punto di non derivabilità in $x_0=pi/2$, precisamente un punto angoloso.
Quindi per concludere, penso che il modo più idoneo per poter risolvere la questione, è porre la funzione periodica di periodo $T=pi$ di studiarla nell'intervallo $A$ detto prima, e di definire la funzione per tratti ovvero:

$forall x in A$

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} cosx+sinx, & \mbox{se }0 \le x \le \pi/2 \\ cosx-sinx , & \mbox{se } \pi/2 \end{cases} \)

Da qui applicare il teorema "limite della derivata", cioè:

come detto la funzione risulta essere continua ed è certamente derivabile per ogni $x in A: x ne pi/2$

\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases} cosx-sinx, & \mbox{se }0 \le x < \pi/2 \\ cosx+sinx , & \mbox{se } \pi/2 \end{cases} \)

$lim_(x to (pi/2)^-)cosx-sinx=-1$, $lim_(x to (pi/2)^+)cosx+sinx=1$
allora nel punto $x_0=pi/2$ non risulta derivabile, precisamente è punto angoloso.

Quindi il domino di $f'$ è $A'=A-{pi/2}$

$forall x in : 0 le x < pi/2$
$f'>0 to cosx-sinx>0 to 0 $f'<0 to pi/4 $f'=0 $ in $ x=pi/4$

Lo stesso avviene, per ogni $pi/2
Aspetto un tuo riscontro

Cordiali saluti.

[anonymous_0b37e9]

Mediante i grafici deducibili:

$x in [0,\pi/2[ rarr f(x)=|sinx|+|cosx|=sqrt2sin(x+\pi/4)$

Inoltre, il suo prolungamento periodico di periodo $[T=\pi/2]$ presenta dei punti angolosi per:

$x=\pi/2+k\pi/2$

Riassumendo, la funzione è talmente elementare da non rendere necessario un suo studio analitico, sempre che non sia esplicitamente richiesto. Ad ogni modo, se proprio vuoi formalizzare rigorosamente:

"galles90":

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} cosx+sinx, & \mbox{se }0 \le x \le \pi/2 \\ cosx-sinx , & \mbox{se } \pi/2 \end{cases} \)

Veramente:

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} cosx+sinx, & \mbox{se }0 \le x \le \pi/2 \\ -cosx+sinx , & \mbox{se } \pi/2 \end{cases} \)

probabilmente una svista visto che la derivata è corretta:

"galles90":

\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases} cosx-sinx, & \mbox{se }0 \le x < \pi/2 \\ cosx+sinx , & \mbox{se } \pi/2 \end{cases} \)

Al netto dell'eventuale svista, quello che hai scritto è corretto. A mio parere, molto più di quanto necessario se non esplicitamente richiesto.

[galles90]

Grazie per le delucidazioni, ti ringrazio

[anonymous_0b37e9]

Buon proseguimento.