Studio di funzione con parametro.
Salve a tutti! Sto cercando di risolvere lo studio di funzione completo di questa funzione
\(\displaystyle \log\left(x+\lambda\right)e^\left(-x\right) \lambda >= 0,x>0 \)
ma ho delle difficoltà nello studio della derivata prima
\(\displaystyle e^\left(-x\right)\left(\frac{1}{x+\lambda}-\log\left(x+\lambda\right)\right)>=0 \)
come fate a trovare il punto in cui \(\displaystyle \frac{1}{x+\lambda}=\log\left(x+\lambda\right) \) ?
Il mio professore dice che la soluzione si trova nell'intervallo [1,e] ma non capisco il ragionamento che ha eseguito e nemmeno il perche'.
aiutatemi..
vi riporto la soluzione del prof! pag 26 del pdf che trovate nel seguente link: http://users.dma.unipi.it/berselli/dida ... 062011.pdf
\(\displaystyle \log\left(x+\lambda\right)e^\left(-x\right) \lambda >= 0,x>0 \)
ma ho delle difficoltà nello studio della derivata prima
\(\displaystyle e^\left(-x\right)\left(\frac{1}{x+\lambda}-\log\left(x+\lambda\right)\right)>=0 \)
come fate a trovare il punto in cui \(\displaystyle \frac{1}{x+\lambda}=\log\left(x+\lambda\right) \) ?
Il mio professore dice che la soluzione si trova nell'intervallo [1,e] ma non capisco il ragionamento che ha eseguito e nemmeno il perche'.
aiutatemi..vi riporto la soluzione del prof! pag 26 del pdf che trovate nel seguente link: http://users.dma.unipi.it/berselli/dida ... 062011.pdf
Risposte
IL punto esatto non lo trovi analiticamente, cioè non è un punto del tipo $e\sqrt2$, ma è un numero che si trova facendo i calcoli a mano o con l'aiuto del computer con in metodi di ricerca dello zero.
Quello che il tuo prof dice è che usando un pò di buon senso e di esperienza nell'uso di queste semplici funzioni si può provare a scegliere qualche coppia di numeri a,b e vedere se $f(a)<0$ e $f(b)>0$. In quel caso lo zero è compreso tra [a,b].
Poteva anche dire che lo zero della derivata è nell'intervallo $[10^(-10), 10^3]$, ma capisci che si può fare un po' meglio e stringere l'intervallo anche senza il computer sotto mano.
Quello che il tuo prof dice è che usando un pò di buon senso e di esperienza nell'uso di queste semplici funzioni si può provare a scegliere qualche coppia di numeri a,b e vedere se $f(a)<0$ e $f(b)>0$. In quel caso lo zero è compreso tra [a,b].
Poteva anche dire che lo zero della derivata è nell'intervallo $[10^(-10), 10^3]$, ma capisci che si può fare un po' meglio e stringere l'intervallo anche senza il computer sotto mano.
se ci fai caso sembra scontato, ma tieni conto essendo tutte e due funzioni del tipo
$f(x+\lambda)$
tutte e due subiscono una traslazione identica, ad esempio
$\lambda=3$ si spostano a sinistra di 3
allora puoi studiarle per
$\lambda=0$ perchè intanto è uguale la relazione tre le due funzioni. se poi sai che dove esistono tutte e due,ossia
$(0, oo),$ $log(x)$ è crescente e $1/x$ è decrescente, allora è ovvio che si incontrano in un unico punto.
e visto che in quel punto valgono uguale, la loro differenza è uguale a zero. questo è il ragionamento che personalmente mi porterebbe a utilizzare il teorema degli zeri
$f(x+\lambda)$
tutte e due subiscono una traslazione identica, ad esempio
$\lambda=3$ si spostano a sinistra di 3
allora puoi studiarle per
$\lambda=0$ perchè intanto è uguale la relazione tre le due funzioni. se poi sai che dove esistono tutte e due,ossia
$(0, oo),$ $log(x)$ è crescente e $1/x$ è decrescente, allora è ovvio che si incontrano in un unico punto.
e visto che in quel punto valgono uguale, la loro differenza è uguale a zero. questo è il ragionamento che personalmente mi porterebbe a utilizzare il teorema degli zeri
vi ringrazio 
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