Studio di funzione con modulo

[francomorelli95]

dovrei fare questo studio di funzione, $ | log((x-3)/2^x)| $
come devo fare devo studiare x>0 e x<0?
fatemi sapere... perché ho fatto l'esame ed il prof. mi ha convocato per una correzione individuale

[Brancaleone1]

Ciao franck
Come ben sai il modulo rende la funzione positiva su tutto il suo dominio. Ricordando che

$|x|={ ( x text( per ) x>= 0 ),( -x text( per ) x<0 ):}$

allora quel logaritmo, per essere sempre positivo, dovrà mantenere condizioni analoghe a questa definizione in tutto il suo dominio.

Risolvilo ponendoti queste domande:
*Qual è il dominio della funzione?
*Dove la funzione si mantiene positiva (e per esclusione negativa)?
*Laddove il logaritmo risulta negativo, cosa suggerisce la definizione di modulo?

[Camillo]

Prima di tutto determina il campo di esistenza della funzione .L'argomento del logaritmo deve essere positivo, cioè a dire $(x-3)/(2^x)>0 $; poiché $2^x >0 $ sempre deve allora essere $x>3 $ che è il dominio della funzione.
Il modulo entra adesso in gioco in quanto è applicato al logaritmo e non all'argomento del logaritmo.
Adesso devi sciogliere il modulo, determinare cioè per quali valori di $x $ si ha che $log((x-3)/(2^x)) > 0 $ etc etc

[francomorelli95]

quindi devo studiare due funzioni $ log ((x-3)/2^x) $ e $ log ((-x-3)/2^-x) $ separatamente?

[Brancaleone1]

No, l'argomento rimane sempre lo stesso. La definizione di modulo qui comporta

$|ln((x-3)/2^x)|={ ( ln((x-3)/2^x) text( per )ln((x-3)/2^x)>=0),( -ln((x-3)/2^x) text( per )ln((x-3)/2^x)<0 ):}$

Devi quindi domandarti dove il logaritmo (NON il suo argomento, che è sempre positivo) si mantiene positivo e dove negativo.

[francomorelli95]

ok grazie ... provo a svolgere

[francomorelli95]

il dominio è uguale ad entrambe le funzioni

[Brancaleone1]

...e quindi?

[francomorelli95]

ok..grazie ho capito

[Sk_Anonymous]

Come è stato detto il campo di esistenza è $x>3$. E' facile dimostrare che, con tale limitazione, si ha:
$2^x>x$ [ una dimostrazione la si può avere con lo sviluppo di $2^x$ in serie di McLaurin, arrestato opportunamente].
A fortiori risulta allora :
$2^x>x-3$
da cui
$(x-3)/{2^x}<1 $
od anche:
$log({x-3}/{2^z})<0$
Pertanto si può scrivere che ( sempre per $x>3$) é :
$y=-log({x-3}/{2^x})=log({2^x}/{x-3})=xlog2-log(x-3)$
Lo studio della funzione è relativamente semplice e porta ai seguenti risultati.
Il diagramma della funzione:
A) non taglia gli assi cartesiani
B) ha un solo asintoto ( verticale) di equazione $x=3$
C) ha un minimo assoluto nel punto $(3+1/{log2},3log2+1-log(log2))$
D) è sempre concavo nella direzione positiva dell'asse delle ordinate e di conseguenza non ha flessi.