Studio di funzione con logaritmo

[Ecomath]

Buongiorno ho provato a studiare la seguente funzione :

$ F(x)=(ln(x))^x $

Il dominio è x>0 quindi (0, +inf)
Il problema è che non riesco a calcolare il limite per x->0 con la funzione data. Nella stesso tempo non so come riscriverla usando le proprietà dei logaritmi. Qualche idea?

[Mephlip]

Prova a riscriverla come $e^{\log ((\log x)^x)}=e^{x \log \log x}$, quindi per la continuità dell'esponenziale il tuo limite si riduce a
$$\lim_{x \to 0^+} x \log \log x$$

[pilloeffe]

Ciao Ecomath,

"Ecomath":Il dominio è x>0 quindi (0, +inf)

In realtà il dominio della funzione proposta è $D = {x \in \RR : x >= 1} $ perché
per ragioni igieniche, come disse una volta anto_zoolander, è opportuno che la base di un'esponenziale sia positiva o al più nulla, quindi da $ ln x >= 0 = ln 1 \implies x >= 1 $

[Ecomath]

Grazie mille ad entrambi

[Ecomath]

Un ultimo dubbio. Riscrivendo la funzione il dominio cambia perché devo porre gli argomenti dei logaritmi (lnx ed x rispettivamente) >0. Non capisco da dove esce la condizione $ >= 1 $ nel dominio. Considerando la funzione riscritta verrebbe maggiore di 1.

[pilloeffe]

"Ecomath":Non capisco da dove esce la condizione $ >= 1 $ nel dominio.

Te l'ho già scritto nel mio post precedente da dove esce:

"pilloeffe":
quindi da $lnx >= 0 = ln1 \implies x >= 1 $

La riscrittura che ti ha suggerito Mephlip vale solo per valori positivi, quindi rimane fuori il caso $x = 1 $ che però si può considerare nella funzione iniziale, infatti per $x = 1 $ si ha $ (ln 1)^ 1 = 0^1 = 0 $

[Ecomath]

Grazie per il chiarimento