Studio di funzione con funzioni iperboliche

[lucadipd]

ciao!
l'altro giorno all'appello di analisi non sono proprio riuscito a risolvere questo studio di funzione:

$f(x)=(sinhsqrt(|x^2-4|))/(coshsqrt(|x^2-4|)+5)$

dove dovevo trovare:
1) Punti in cui è derivabile
2) Studiare la monotonia
3) Determinare gli estremanti locali
4) Grafico approssimativo della funzione

ad essere sincero non ho saputo neanche cominciarlo...
si può semplificare la funzione prima di derivarla? perché così non saprei proprio farla... grazie 1000 in anticipo

[salvozungri]

Comincia col dominio e prosegui con lo studiare il segno di [tex]x^2-4[/tex]. Scrivi la funzione [tex]f[/tex] suddividendola in casi, utilizzando la definizione di valore assoluto. Provaci, se non ci riesci ti aiuto

[lucadipd]

"Mathematico":Comincia col dominio e prosegui con lo studiare il segno di [tex]x^2-4[/tex]. Scrivi la funzione [tex]f[/tex] suddividendola in casi, utilizzando la definizione di valore assoluto. Provaci, se non ci riesci ti aiuto

Grazie

Per trovare il dominio ho calcolato il segno di $x^2-4$ che per $x>=0$ è uguale a $x>=+-2$
Considerando che il cosh è sempre positivo, posso escludere tutti i valori negativi dal dominio.
Quindi il dominio di $f$ è l'intervallo ]$2,+oo$[

Fin qui ho commesso errori?

[salvozungri]

Sì, hai commesso un paio di errori.

Il dominio è [tex]\mathbb{R}[/tex], ma mi devi dire il perchè .

[lucadipd]

perchè c'è il valore assoluto e il suo dominio è tutto R

[salvozungri]

Perdonami per il ritardo nella risposta. Dunque il dominio della funzione è tutto l'asse reale proprio perchè le funzioni in gioco sono definite e continue per ogni $x$.
Infatti:
$|x^2-4|>=0\quad \forall x\in \mathbb{R}$ pertanto la condizione d'esistenza della radice quadrata è assicurata.
Inoltre, ricordando che il coseno iperbolico è una funzione positiva, si ha che il denominatore non può mai annullarsi. Fin qui ci siamo?

Una volta determinato il dominio, è utile studiare il segno di $x^2-4$, cosicchè possiamo toglierci di mezzo il valore assoluto, di solito porta solo noie.

$x^2-4>=0\iff x<=-2 \or x>=2$

mentre è negativa in $(-2, 2)$.

Il valore assoluto può essere espresso quindi come:

[tex]|x^2-4|=\begin{cases}
x^2-4 & \text{se } x\le -2\text{ o } x\ge 2 \\
\\
4-x^2 & \text{se } -2 \end{cases}[/tex]

Pertanto la nostra simpatica funzione può essere riscritta in questo modo:


[tex]\displaystyle f(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\sinh\left(\sqrt{x^2-4}\right)}{\cosh\left(\sqrt{x^2-4}\right)+5} & \text{se } x\le -2\text{ o } x\ge 2 \\
\text{ }\\
\displaystyle\frac{\sinh\left(\sqrt{4-x^2}\right)}{\cosh\left(\sqrt{4-x^2}\right)+5} & \text{se } -2 \end{cases}[/tex]

(Arrivato a questo punto dovresti studiare la continuità della funzione nei punti di raccordo, cioè nei punti [tex]x_1=-2[/tex] e [tex]x_2=2[/tex]. Sai come si fa?) [Edit]: In realtà non serve fare 'sta cosa perchè le funzioni che intervengono sono tutte continue, quindi anche la loro composizione è continua.

Dobbiamo però studiare la derivabilità di [tex]f[/tex]. Osserva che per [tex]x< -2\text{ o } x>2[/tex], e per [tex]-2

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[lucadipd]

devo calcolarmi il limite destro e sinistro nei due punti di raccordo giusto?

[salvozungri]

Quello che scrivi tu va bene per verificare la continuità della funzione, ma come ho messo in evidenza nel mio messaggio precedente, in questo caso è inutile.

Per la derivabilità devi calcolarti il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale della funzione centrato nei punti di raccordo. In particolare per [tex]x_0= -2[/tex] dovresti valutare i limiti:

[tex]$\lim_{x\to -2^+}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}[/tex]
[tex]$\lim_{x\to -2^-}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}[/tex]

Se i due limiti sono finiti e coincidono allora la funzione è derivabile in [tex]-2[/tex].

Devi fare lo stesso discorso per [tex]2[/tex]

provaci un po' e fammi sapere