Studio di funzione con e e logx

[Sossella1]

Ciao a tutti! Scusate se continuo a postare ma sto passando i pomeriggi con gli studi di funzione
Volevo chiedervi lumi in merito a questo studio:
$ f(x)= e^(1/(x-1))logx $
Dominio è $ 01 $ cioè $ Domf=(0,1)U(1,+oo ) $
Intersezione con gli assi
$ f(x)=0 $ quindi $ e^(1/(x-1))logx=0 $ per $ x=1 $
Limiti agli estremi del dominio
$ lim_(x -> +oo ) e^(1/(x-1))logx =+oo $ presunto asintoto obliquo (ho provato ma non ho trovato l'equazione della retta, quindi per me non esiste
$ lim_(x -> 0^+ ) e^(1/(x-1))logx =1/e $
$ lim_(x -> 1^+ ) e^(1/(x-1))logx =+oo $
$ lim_(x -> 1^- ) e^(1/(x-1))logx =-oo $
Calcolo $ f'(x) $ $ f'(x)=(e^(1/(x-1))[(-xlogx+(x-1)^2)])/(x-1)^2 $
Pongo la derivata $ >=0 $ per studiare la monotonia e, quindi, eventuali massimi e minimi assoluti
$ f'(x)=(e^(1/(x-1))[(-xlogx+(x-1)^2)])/(x-1)^2>=0 $ ora, so che $ e^(1/(x-1)) $ è sempre maggiore o uguale a 0, perciò studio solo $ -xlogx+(x-1)^2>=0 $ ottenendo:
$ -xlogx+x^2+1-2x>=0 -> x^2+(-2-logx)x+1>=0 $ ora risolvo come se fosse un'equazione semplice di 2° grado, ottenendo:
$ (+2+logx+-sqrt(log^(2)x+4logx))/2 $
Però mi sembra molto strano di trovare così i punti.

Per piacere, potete indicarmi dove ho sbagliato? Grazie mille!

[Brancaleone1]

"Sossella":
Intersezione con gli assi
$ f(x)=0 $ quindi $ e^(1/(x-1))logx=0 $ per $ x=1 $

Eh no guarda bene, conosci il dominio

"Sossella":$ lim_(x -> 0^+ ) e^(1/(x-1))logx =1/e $

[...]

$ lim_(x -> 1^- ) e^(1/(x-1))logx =-oo $

No

"Sossella":Calcolo $ f'(x) $ $ f'(x)=(e^(1/(x-1))[(-xlogx+(x-1)^2)])/(x-1)^2 $

Scritta così non è giusta, manca qualcosa

"Sossella":$ -xlogx+x^2+1-2x>=0 -> x^2+(-2-logx)x+1>=0 $ ora risolvo come se fosse un'equazione semplice di 2° grado, ottenendo:
$ (+2+logx+-sqrt(log^(2)x+4logx))/2 $
Però mi sembra molto strano di trovare così i punti.

Infatti non si trovano così Come puoi usare la formula di risoluzione per le equazioni di secondo grado - col logaritmo, tra l'altro - includendo anche le incognite?

[Sossella1]

"Brancaleone":[quote="Sossella"]
Intersezione con gli assi
$ f(x)=0 $ quindi $ e^(1/(x-1))logx=0 $ per $ x=1 $

Eh no guarda bene, conosci il dominio
[/quote]
Hai ragione, essendo il dominio $ (0,1)U(1,+oo) $ non ci sono soluzioni

"Brancaleone":[quote="Sossella"]
$ lim_(x -> 0^+ ) e^(1/(x-1))logx =1/e $

[...]

$ lim_(x -> 1^- ) e^(1/(x-1))logx =-oo $

No[/quote]
$ lim_(x -> 0^+ ) e^(1/(x-1))logx=-oo $
$ lim_(x -> 1^- ) e^(1/(x-1))logx =0 $
Sono giusti ora?

"Brancaleone":[quote="Sossella"]Calcolo $ f'(x) $ $ f'(x)=(e^(1/(x-1))[(-xlogx+(x-1)^2)])/(x-1)^2 $

Scritta così non è giusta, manca qualcosa [/quote]
Hai ragione, manca la x al denominatore, cioè:
$ f'(x)=(e^(1/(x-1))[(-xlogx+(x-1)^2)])/(x(x-1)^2) $

"Brancaleone":[quote="Sossella"]$ -xlogx+x^2+1-2x>=0 -> x^2+(-2-logx)x+1>=0 $ ora risolvo come se fosse un'equazione semplice di 2° grado, ottenendo:
$ (+2+logx+-sqrt(log^(2)x+4logx))/2 $
Però mi sembra molto strano di trovare così i punti.

Infatti non si trovano così Come puoi usare la formula di risoluzione per le equazioni di secondo grado - col logaritmo, tra l'altro - includendo anche le incognite?[/quote]
Hai perfettamente ragione, è impossibile risolverla cosi: cercando le $ x $ e inserendole dentro all'equazione questo succede quando si fanno le cose in modo meccanico senza pensarci!
Però, ora, non saprei come andare avanti per trovare massimi e minimi