Studio di funzione con disequazione trascendente
Ciao a tutti, scrivo questo post per chiedere una mano sulla risoluzione di uno studio di funzione che presenta una disequazione trascendente al momento di studiare la derivata prima.
Purtroppo non possiamo utilizzare il metodo grafico in sede d'esame e sto avendo difficoltà a comprendere come applicare il teorema degli zeri per risolvere la disequazione come trovo scritto nei miei appunti.
La funzione da studiare è $ x|e^(x-1)-1| $
Nel procedere con lo studio ho diviso la funzione a causa della presenza del valore assoluto ottenendo così $ f(x)={ (x*(e^(x-1)-1) x>=1),( x*(1-e^(x-1)) x<1 ):} $
A questo punto, calcolando la derivata prima nel caso, ad esempio, di $ x>=1 $, ottengo $ e^(x-1)*(x+1)-1 $
Quindi $ e^(x-1)*(x+1)-1>=0hArre^(x-1)>=1/(x+1) $ se $x>(-1)$ e
$ e^(x-1)*(x+1)-1>=0hArre^(x-1)<=1/(x+1) $ se $x<-1$.
Ora, nel caso in cui sia $x<-1$ la disequazione non è mai verificata, ed inoltre credo che andasse escluso a priori essendo la parte di funzione presa in esame definita per $x>=1$ mentre nel caso in cui sia $x>(-1)$ va utilizzato il teorema degli zeri osservando prima di tutto che $ e^(x-1) $ è crescente e $1/(x+1)$ è decrescente ed è qui che non sono più in grado di proseguire poiché gli appunti sono incompleti, l'unica indicazione che ho è quella, appunto, di utilizzare il teorema degli zeri.
Purtroppo online e sul mio testo non trovo nulla a riguardo perciò spero nel vostro aiuto.
Grazie a chiunque si sia preso il tempo di leggere queste righe.
Purtroppo non possiamo utilizzare il metodo grafico in sede d'esame e sto avendo difficoltà a comprendere come applicare il teorema degli zeri per risolvere la disequazione come trovo scritto nei miei appunti.
La funzione da studiare è $ x|e^(x-1)-1| $
Nel procedere con lo studio ho diviso la funzione a causa della presenza del valore assoluto ottenendo così $ f(x)={ (x*(e^(x-1)-1) x>=1),( x*(1-e^(x-1)) x<1 ):} $
A questo punto, calcolando la derivata prima nel caso, ad esempio, di $ x>=1 $, ottengo $ e^(x-1)*(x+1)-1 $
Quindi $ e^(x-1)*(x+1)-1>=0hArre^(x-1)>=1/(x+1) $ se $x>(-1)$ e
$ e^(x-1)*(x+1)-1>=0hArre^(x-1)<=1/(x+1) $ se $x<-1$.
Ora, nel caso in cui sia $x<-1$ la disequazione non è mai verificata, ed inoltre credo che andasse escluso a priori essendo la parte di funzione presa in esame definita per $x>=1$ mentre nel caso in cui sia $x>(-1)$ va utilizzato il teorema degli zeri osservando prima di tutto che $ e^(x-1) $ è crescente e $1/(x+1)$ è decrescente ed è qui che non sono più in grado di proseguire poiché gli appunti sono incompleti, l'unica indicazione che ho è quella, appunto, di utilizzare il teorema degli zeri.
Purtroppo online e sul mio testo non trovo nulla a riguardo perciò spero nel vostro aiuto.
Grazie a chiunque si sia preso il tempo di leggere queste righe.
Risposte
Ma perché incasinarti la vita con tutti questi contazzi?
Il fatto bello di conoscere la teoria è che ti risparmiano perdite di tempo (ed ematiche) dovute a calcoli inutili.
Hai da risolvere $(x+1)e^(x-1) >= 1$ per $x >=1$; le due funzioni $phi(x):= x+1, psi(x) :=e^(x-1)$ sono positive, continue e strettamente crescenti in $[1,+oo[$ e risulta $phi(1)psi(1) = 2>1$; per monotonia hai $phi(x)psi(x) >= phi(1)psi(1)>1$ per ogni $x >=1$ e quindi sei a cavallo.
(E, tra parentesi, non hai nemmeno mezzo punto critico per $x >=1$.)
Il fatto bello di conoscere la teoria è che ti risparmiano perdite di tempo (ed ematiche) dovute a calcoli inutili.
Hai da risolvere $(x+1)e^(x-1) >= 1$ per $x >=1$; le due funzioni $phi(x):= x+1, psi(x) :=e^(x-1)$ sono positive, continue e strettamente crescenti in $[1,+oo[$ e risulta $phi(1)psi(1) = 2>1$; per monotonia hai $phi(x)psi(x) >= phi(1)psi(1)>1$ per ogni $x >=1$ e quindi sei a cavallo.
(E, tra parentesi, non hai nemmeno mezzo punto critico per $x >=1$.)
"gugo82":
Ma perché incasinarti la vita con tutti questi contazzi?
Il fatto bello di conoscere la teoria è che ti risparmiano perdite di tempo (ed ematiche) dovute a calcoli inutili.
Hai da risolvere $(x+1)e^(x-1) >= 1$ per $x >=1$; le due funzioni $phi(x):= x+1, psi(x) :=e^(x-1)$ sono positive, continue e strettamente crescenti in $[1,+oo[$ e risulta $phi(1)psi(1) = 2>1$; per monotonia hai $phi(x)psi(x) >= phi(1)psi(1)>1$ per ogni $x >=1$ e quindi sei a cavallo.
(E, tra parentesi, non hai nemmeno mezzo punto critico per $x >=1$.)
Ciao gugo82, prima di tutto ti ringrazio per la risposta, purtroppo come hai notato non sarei mai stato in grado di arrivare ad un'osservazione come la tua da solo, ora vorrei chiederti ancora una mano per capire come studiare il segno della derivata nel caso $x<1$.
Ho provato ad utilizzare il tuo stesso metodo:
Derivata per $ x<1 $: $ 1-e^(x-1)(x+1) $
Quindi $ e^(x-1)(x+1)<=1 $, in questo caso abbiamo $psi(x) :=e^(x-1)$ positiva, continua e strettamente crescente per $x<1$, ma $phi(x):= x+1$ è positiva soltanto in $ ]-1,1[ $, potresti darmi qualche spunto per aiutarmi a capire come muovermi in questa situazione? Grazie infinite per la tua pazienza.
EDIT: anche tralasciando la questione della positività di $phi(x)$, riesco a tirare fuori un ragionamento come quello che mi hai illustrato solo fino a $0$, osservando che $phi(0)psi(0)=1/e<1$ e quindi $phi(x)psi(x)<=phi(0)psi(0)<1$ per $x<=0$, ma anche se così andasse bene non so come muovermi tra 0 e 1.
Ciao alemartina23,
Non è che la stai facendo troppo complicata?
La funzione proposta è la seguente:
$f(x) = x|e^{x - 1} - 1| $
Per costruzione, la funzione proposta è positiva per $x > 0 $, fatta eccezione per il punto $x = 1 $ ove si annulla; è negativa per $x < 0 $. L'altra radice è ovviamente $x = 0 $. Hai già visto che è crescente per $x > 1 $ e certamente lo è anche in $(-\infty, 0) $ per cui il massimo della funzione deve trovarsi nell'intervallo $(0, 1) $, cosa confermata dal fatto che
$\int_0^1 x|e^{x - 1} - 1| \text{d}x = 1/2 - 1/e > 0 $
Diverso è se vuoi sapere con precisione dove si trova il punto di massimo in $(0, 1) $, cosa per la quale potresti procedere numericamente...
Non è che la stai facendo troppo complicata?
La funzione proposta è la seguente:
$f(x) = x|e^{x - 1} - 1| $
Per costruzione, la funzione proposta è positiva per $x > 0 $, fatta eccezione per il punto $x = 1 $ ove si annulla; è negativa per $x < 0 $. L'altra radice è ovviamente $x = 0 $. Hai già visto che è crescente per $x > 1 $ e certamente lo è anche in $(-\infty, 0) $ per cui il massimo della funzione deve trovarsi nell'intervallo $(0, 1) $, cosa confermata dal fatto che
$\int_0^1 x|e^{x - 1} - 1| \text{d}x = 1/2 - 1/e > 0 $
Diverso è se vuoi sapere con precisione dove si trova il punto di massimo in $(0, 1) $, cosa per la quale potresti procedere numericamente...
Ciao pilloeffe, grazie per la risposta, sicuramente la sto facendo troppo complicata, ma il problema, come avrete intuito, sono le mie carenze teoriche e mi scuso se vi sto facendo perdere tempo con una cosa che per voi è così banale, ma purtroppo attualmente la mia preparazione è questa 
Tornando al mio problema, grazie mille per la tua spiegazione, mi state davvero aiutando a capire come ragionare, mentre io tentavo sempre di seguire i vari passi "standard" dello studio di funzione con scarsi successi. Fortunatamente non ho bisogno di individuare con precisione il punto di massimo in $(0,1)$, quindi il tuo svolgimento soddisfa appieno la mia domanda.
In merito a quanto proposto da gugo82 ho provato a concludere il ragionamento osservando che $ e^(x-1)(x+1)<1 $ per $x<-1$ e quindi la funzione è crescente in $]-oo,-1]$; continua ad essere crescente in $]-1,0]$ sfruttando il ragionamento proposto da gugo82 per il caso $x>1$; infine possiamo affermare che in $]0,1[$ vi sia un punto estremale $ z $ usando il teorema degli zeri sull'intervallo $[0,1]$ e osservare che tale punto è un punto di massimo in quanto la derivata prima è crescente in $[0,z]$ e decrescente in $[z,1]$.
È corretto anche questo modo di procedere?
Grazie ancora a entrambi.
Tornando al mio problema, grazie mille per la tua spiegazione, mi state davvero aiutando a capire come ragionare, mentre io tentavo sempre di seguire i vari passi "standard" dello studio di funzione con scarsi successi. Fortunatamente non ho bisogno di individuare con precisione il punto di massimo in $(0,1)$, quindi il tuo svolgimento soddisfa appieno la mia domanda.
In merito a quanto proposto da gugo82 ho provato a concludere il ragionamento osservando che $ e^(x-1)(x+1)<1 $ per $x<-1$ e quindi la funzione è crescente in $]-oo,-1]$; continua ad essere crescente in $]-1,0]$ sfruttando il ragionamento proposto da gugo82 per il caso $x>1$; infine possiamo affermare che in $]0,1[$ vi sia un punto estremale $ z $ usando il teorema degli zeri sull'intervallo $[0,1]$ e osservare che tale punto è un punto di massimo in quanto la derivata prima è crescente in $[0,z]$ e decrescente in $[z,1]$.
È corretto anche questo modo di procedere?
Grazie ancora a entrambi.
“Ad occhio” direi di sì, anche se non ho controllato tutti i passaggi.
Okay, ancora grazie ad entrambi per l'aiuto!
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