Studio di funzione con 2 variabili

[Shiony]

Salve a tutti, sto studiando per poter dare l'esame di analisi 2.
Dopo aver iniziato ad esercitarmi con serie e successioni, sono appena passato allo studio di funzione con 2 variabili.
Contemporaneamente allo studio teorico sto cercando di svolgere un esercizio riguardante appunto lo studio di funzione.
L'esercizio è questo qui:
Data la funzione

$ 1/(((2x-1)^2)+((2y-1)^2)) $

dopo averne determinato il dominio, determinarne eventuali massimi
e minimi relativi, determinarne gli estremi superiore ed inferiore e, se esistono, il
massimo e il minimo assoluti sul segmento di estremi (0, 0) e
(1, 1).

Premetto che essendo all'inizio non sono sicuro al 100% che quello che ho svolto sia giusto, ma sembra esserlo.

Ho calcolato il dominio come $ y != 1-x $
La derivata parziale rispetto ad x $ -(2x-1)/(((2x^2)-2x+(2y^2)-2y+1)^2) $
Quella rispetto a y $ -(2y-1)/(((2x^2)-2x+(2y^2)-2y+1)^2) $
Poi mettendo a sistema mi è uscito un solo punto stazionario cioè $ (1/2 ; 1/2 ) $ ma, essendo escluso da Dominio non ho continuato con lo studio per il massimo e il minimo, adesso dovrei calcolare gli estremi ma non riesco a capire come fare, cioè so che dovrei calcolare i limiti, ma non so a cosa dovrebbero tendere la x e la y.

Vi ringrazio anticipatamente dell'aiuto

[Camillo]

Perché escludi dal dominio la retta $y=1-x $ ? . Devo escludere solo i punti che annullano il denominatore , quindi
Dominio :$RR^2 - (1/2,1/2)$
Qualche considerazione :

Denominatore sempre $>=0 $ quindi $0

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[dissonance]

"Camillo": il valore $0$ è estremo inf

Buongiorno Camillo, questa affermazione qui è vera ma a mio avviso non la hai dimostrata: tu hai dimostrato solo che la funzione è strettamente positiva.

giusto per la precisione

[Shiony]

ok, il mio errore nel dominio è stato non ricordare il fatto che nel denominatore entrambi i fattori erano elevati al quadrato, comunque dopo averlo modificato, comunque non cambia il fatto che non ci siano massimi e minimi, ma per calcolare gli estremi, non ricordo, come devo impostare i limiti

[Camillo]

@ dissonance e come si dimostra che 0 è l'inf ?

[Shiony]

Dopo aver studiato meglio i massimi e minimi assoluti e quelli vincolati, ho ripreso questo esercizio lasciato irrisolto.
Quindi dopo aver stabilito che non ci sono punti stazionari nella funzione f, poichè l'unico punto che si trova è (x,y) = ($ 1/2 , 1/2 $) che è escluso dal dominio, e quindi non ci sono massimi e minimi relativi o punti di sella, avendo dal testo come condizione g(x) un segmento di estremi (0,0) e (1,1) ho inserito nel dominio della funzione g(x) la condizione $ y = x $ con $ 0 <= x <= 1 e 0<= y <= 1 $ ho quindi sostituito la x al posto della y nella funzione f, diventando $ 1/(2(2x-1)^2) $ ho poi calcolato la derivata prima $ - 2/((2x-1)^3) $ ma adesso non riesco a capire come studiare il segno della derivata per calcolare i massimi e minimi relativi e assoluti della funzione g, dato che quando studio il segno della funzione mi viene $ x > 1/2 $ che è però un punto escluso dal dominio

[quantunquemente]

è evidente che $g(x)$ non abbia massimo assoluto,visto che $ lim_(x -> 1/2)g(x)=+infty $
inoltre,$g'(x)$ non si annulla mai ,quindi il punto di minimo assoluto non è da ricercare tra i punti di minimo relativo (che non esistono)
allora i punti di minimo assoluto sono $x=0$ ed $x=1$(estremi del dominio ristretto) in cui la funzione vale $2$

p.s. la funzione è crescente nell'intervallo $[0,1/2)$ e decrescente in $(1/2,1]$

ritornando poi ad un quesito precedente,come si fa a dimostrare che l'estremo inferiore del codominio della funzione è $0$ ?
beh, direi che basta considerare,ad esempio,la restrizione della funzione alla retta $y=0$ e vedere cosa succede all'infinito

[Shiony]

ok ci sono però alcune cose che ancora non capisco.
1 il limite non dovrebbe essere fatto in funzione di f(x) anzichè g(x)
2 perchè la g'(x) non si annulla mai? dato che se a x dessimo il valore di $ 1/2$ si annullerebbe
3 i punti $ x = 0 e x = 1 $ non dovrebbero essere sostituiti alla funzione f(x) dando quindi il valore $ 1/2$?
4 dato che studiando la g'(x) viene $ x > 1/2 $ non dovrebbe essere: non crescente in $ [0,1/2)$ e non decrescente in $(1/2, 1] $

[quantunquemente]

rispondo subito alla tua obiezione corretta : hai ragione,mio errore di distrazione : la $g(x)$ in $0$ ed $1$ vale $1/2$
dal momento che hai effettuato la sostituzione $y=x$ tutto il discorso riguarda solo $g(x)$ e non più $f(x,y)$
poi,essendo $g'(x)=-2/(2x-1)^3$,mi sembra ovvio che non si possa mai annullare visto che al numeratore hai $-2$ e basta
quel $-$ davanti al 2 spiega anche perchè la monotonia è quella descritta da me

[Shiony]

Perfetto, mi ero totalmente dimenticato del -
Grazie mille per l'aiuto

[quantunquemente]

prego