Studio di funzione: come la disegno?
Ciao a tutti.
Non riesco venire a capo di questa funzione, non ho idea di come disegnarla.
I miei risultati:
Dominio x>0
Niente asintoto orizzontale:
x=0 asintoto verticale:
Derivata prima:
Derivata seconda:
Non riesco venire a capo di questa funzione, non ho idea di come disegnarla.
[math]f(x) = \frac{ln^2x}{2}-lnx[/math]
I miei risultati:
Dominio x>0
Niente asintoto orizzontale:
[math]\lim_{x\to\infty}{\frac{ln^2x}{2}-lnx} = \infty[/math]
x=0 asintoto verticale:
[math]\lim_{x\to 0}{\frac{ln^2x}{2}-lnx} = 0[/math]
Derivata prima:
[math]\frac{lnx-1}{x}[/math]
Derivata seconda:
[math]\frac{2-lnx}{x^2}[/math]
Risposte
Non ho controllato i conti ma in generale devi vedere:
Gli eventuali incontri con gli assi
i segni della funzione
i segni della derivata prima (crescenza e decrescenza)
eventuali Max e min (f ' = 0)
i segni della derivata seconda (concavità e convessità)
eventuali flessi obliqui (f " = 0)
Gli eventuali incontri con gli assi
i segni della funzione
i segni della derivata prima (crescenza e decrescenza)
eventuali Max e min (f ' = 0)
i segni della derivata seconda (concavità e convessità)
eventuali flessi obliqui (f " = 0)
Questo lo so anch'io, è quello che ho fatto ma la funzione sembra essere inesistente.
Dominio ok
incontro con asse Y impossibile
incontro con asse X per x=1
derivata prima (vedi foto) sempre STRETTAMENTE minore di ZERO.
IN CONCLUSIONE da più infinito va a meno infinito passando da (1, 0) senza punti stazionari.
Volendo si può calcolare la derivata seconda.
Aggiunto 9 minuti più tardi:
N.B.
quando una funzione ha un asintoto verticale, il limite della funzione tendente alla x dell'asintoto NON può essere un numero finito ma (per definizione) DEVE essere o più o meno INFINITO
incontro con asse Y impossibile
incontro con asse X per x=1
derivata prima (vedi foto) sempre STRETTAMENTE minore di ZERO.
IN CONCLUSIONE da più infinito va a meno infinito passando da (1, 0) senza punti stazionari.
Volendo si può calcolare la derivata seconda.
Aggiunto 9 minuti più tardi:
N.B.
quando una funzione ha un asintoto verticale, il limite della funzione tendente alla x dell'asintoto NON può essere un numero finito ma (per definizione) DEVE essere o più o meno INFINITO
Carlo.. ancora una volta hai fatto errori.
Ricontrollando i calcoli ieri ho trovato ciò che avevo sbagliato, ovvero lo studio del segno della derivata prima.. quindi, ricapitolando:
Dominio x>0
Asintoto orizzontale
Asintoto verticale x=0
derivata prima:
minimo relativo in e
derivata seconda:
intersezioni con asse x:
Aggiunto 3 minuti più tardi:
PS: mi sono appena accorta di aver messo a denominatore una x al posto del 2. Scusa.
Ricontrollando i calcoli ieri ho trovato ciò che avevo sbagliato, ovvero lo studio del segno della derivata prima.. quindi, ricapitolando:
Dominio x>0
Asintoto orizzontale
Asintoto verticale x=0
derivata prima:
[math]\frac{lnx-1}{x}[/math]
[math]f'(x)\geq 0 : x>e[/math]
minimo relativo in e
[math]m(e,\frac{-1}{2})[/math]
derivata seconda:
[math]\frac{2-lnx}{x^2}[/math]
[math]f''(x)\geq 0 : 0\leq x \leq e^2[/math]
intersezioni con asse x:
[math]x=1[/math]
, [math]x=e^2[/math]
Aggiunto 3 minuti più tardi:
PS: mi sono appena accorta di aver messo a denominatore una x al posto del 2. Scusa.
Non credo di aver sbagliato la derivata. Nella foto ci sono anche alcuni passaggi. Fammi vedere come l'hai calcolata tu, anche con una foto dei passaggi come ho fatto io ieri sera
Aggiunto 1 ora 54 minuti più tardi:
Io ho calcolato la derivata sia così come è scritta, sia facendo prima il mcm, a mò di riprova, e mi è venuta uguale.
Dato che non ti fidi, ora ho provato anche con symbolab.com (vedi foto).
Premesso che non mi affido mai a questi programmi per le mie risposte (a volte danno risultati non validi) ciò nonostante questa volta ho voluto una ulteriore riprova da mostrarti che i MIEI calcoli erano giusti.
D'altro canto, pur leggermente lunghi, sono relativamente facili.
.
.
Aggiunto 1 ora 54 minuti più tardi:
Io ho calcolato la derivata sia così come è scritta, sia facendo prima il mcm, a mò di riprova, e mi è venuta uguale.
Dato che non ti fidi, ora ho provato anche con symbolab.com (vedi foto).
Premesso che non mi affido mai a questi programmi per le mie risposte (a volte danno risultati non validi) ciò nonostante questa volta ho voluto una ulteriore riprova da mostrarti che i MIEI calcoli erano giusti.
D'altro canto, pur leggermente lunghi, sono relativamente facili.
.
[math]\\RIPASSO\\se:\\F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\\allora:\\F'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}[/math]
..
Spero vivamente che sia l'ultimo topic che mi tocca riaprire: Skuola.net non è
una rivista peer-reviewed!! Carlo cerca di essere un po' più attento, la funzione
in questione è
Dunque, data la funzione
essa presenta insieme di definizione
quindi non interseca l'asse delle ordinate, mentre interseca quello delle ascisse in
Per quanto concerne il segno di
quindi
Passando allo studio di
da cui consegue che
non esistono asintoti orizzontali per
Dato che si ha
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
È il momento quindi di studiare il segno di
da cui segue che
relativo per
scopre essere anche punto di minimo assoluto per
Per quanto concerne lo studio del segno di
da cui segue che
un punto di flesso per
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
Con questo direi che è davvero tutto. ;)
una rivista peer-reviewed!! Carlo cerca di essere un po' più attento, la funzione
in questione è
[math]f(x) = \frac{\log^2 x}{2} - \log x[/math]
e non [math]f(x) = \frac{\log^2 x}{x} - \log x\\[/math]
!!Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da [math]f(x) := \frac{\log^2 x}{2} - \log x\\[/math]
essa presenta insieme di definizione
[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \right\}[/math]
quindi non interseca l'asse delle ordinate, mentre interseca quello delle ascisse in
[math]f(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = 1 \, \vee \, x = e^2 \; .[/math]
Per quanto concerne il segno di
[math]f\\[/math]
, si ha[math]f(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; 0 < x < 1 \, \vee \, x > e^2 \; , \\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è positiva per [math]\small 0 < x < 1\, \vee \, x > e^2[/math]
, negativa per [math]\small 1 < x < e^2\\[/math]
.Passando allo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti, si ha [math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]
da cui consegue che
[math]x = 0[/math]
è asintoto verticale (sinistro) per [math]f[/math]
, mentre non esistono asintoti orizzontali per
[math]\small f\\[/math]
: è possibile che vi siano asintoti obliqui. Dato che si ha
[math]\begin{aligned}m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\end{aligned}\\[/math]
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
[math]f\\[/math]
.È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in [math]\text{dom}[f]\\[/math]
:[math]f'(x) = \frac{\log x - 1}{x} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \ge e\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
decresce per [math]0 < x < e[/math]
, presenta un punto di minimo relativo per
[math]x = e[/math]
(alla luce dello studio ai limiti tale punto stazionario si scopre essere anche punto di minimo assoluto per
[math]f[/math]
) e cresce per [math]x > e\\[/math]
.Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in [math]\text{dom}[f]\\[/math]
:[math]f''(x) = \frac{2 - \log x}{x^2} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; 0 < x \le e^2\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è convessa per [math]0 < x < e^2[/math]
, presenta un punto di flesso per
[math]x = e^2[/math]
ed è concava per [math]x > e^2\\[/math]
.In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f[/math]
èCon questo direi che è davvero tutto. ;)
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