Studio di funzione (arcsin e modulo)

[grinderman]

Ciao, questo è il mio primo messaggio, e colgo l'occasione per presentarmi.
Sono un ventenne che frequenta la facoltà di Ing. Meccanica, e ho qualche problemi riguardo Matematica 1 che dovrò recuperare in estate.

Stavo facendo qualche esercizio sullo studio di funzione e ho incontrato qualche difficoltà qui:

f(x)=$arcsin((1-|log(x)|)/|3+log(x)|)$

In primo luogo non riesco a ottenere buoni risultati riguardo al dominio. Ho pensato di suddividere la funzione in intervalli utili a eliminare il modulo, e ho ottenuto questo:

f(x)=$arcsin((1-log(x))/(3+log(x)))$ con $x>=1$
f(x)=$arcsin((1+log(x))/(3+log(x)))$ con $e^(-3) f(x)=$arcsin((1+log(x))/(-3-log(x)))$ con $0
Però poi facendo il modulo dell'argomento del arcsin e imponendo la condizione $<=1$ non riesco a mettere in relazione i vari valori con quelli trovati per poter eliminare il modulo.
Volevo chiedervi se c'era qualche trucchetto per studiare la funzione, evitando di creare troppi intervalli difficilmente gestibili, anche perchè poi dovrei studiare la derivata prima e seconda degli intervalli, il che mi porterebbe via moltissimo tempo.

Grazie mille per l'attenzione,

CIAO

[adaBTTLS1]

benvenuto nel forum.
quello che hai scritto, va benissimo.
hai già fatto gran parte del lavoro per il dominio, ora basta risolvere tre semplici sistemi ponendo in ciascuno:
argomento >= - 1; argomento <= +1; limitazione per la x. ti assicuro che vengono semplici.

nel primo non ci sono limitazioni più restrittive per la x, nel secondo si ha la condizione in più $x >= e^(-2)$ ed il terzo è impossibile.
quindi la funzione diventa (se i miei calcoli sono esatti: ricontrolla...!):

$f(x)={[arcsin((1-logx)/(3+logx)), (if x>=1)], [arcsin((1+logx)/(3+logx)), (if e^(-2) <= x < 1)] :}

ciao.