Studio di funzione Analisi 1

[ShaxV]

Buongiorno, vorrei un aiuto riguardo uno studio di funzione di cui non sono riuscito a studiare né la positività né la derivata prima/seconda. Da programma non abbiamo fatto le funzioni trascendenti, né ci hanno mai insegnato a "lavorare graficamente", il mio professore inoltre è assente e quindi non posso chiedergli nulla riguardo questo studio di funzione, se c'è qualche anima pia che può aiutarmi ne sarei grato. Lo studio di funzione è questo

$xsqrt(x^2 +1) +7arccos(1/(1+x^2))$

All'esame il professore ha detto che c'era un modo diverso di studiare massimi minimi e flessi senza passare per le derivate in questo caso specifico, ma proprio non riesco a capire come.

Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

Puoi studiare singolarmente le
Due funzioni e poi fare la sovrapposizione punto punto per ricavare massimi/minimi, intersezioni, segno e poi con i limiti disegni qualcosa di qualitativo.

Ho svolto la derivata prima che non è ostica, e salta subito all'occhio qualcosa, senza svolgere ulteriori calcoli.
Anche i punti di non derivabilità. I maggiori problemi si hanno per $x<0$, per $x>0$ non è difficile Disegnarla.

Inoltre una intersezione è facile da trovare a occhio.

[gugo82]

Innanzitutto, pare cosa buona ricordare che la composta di funzioni con la stessa monotònia (i.e., entrambe crescenti o entrambe decrescenti) è una funzione crescente; mentre la composta di funzioni con opposte monotònie (i.e., una crescente ed una decrescente) è una funzione decrescente.
Ciò si dimostra banalmente (basta usare le definizioni) e ti esorto a farlo.
Analoghe proprietà valgono per la somma di funzioni con la stessa monotònia, o per il prodotto di funzioni (almeno per quelle con segno costante)... Prova ad esplorare queste cose.

Vediamo come ciò aiuti nel caso in esame.
Per $x\geq 0$ si vede facilmente che:
\[
\begin{split}
x^2 \text{ è str. crescente e non negativa}\qquad &\Rightarrow \qquad \frac{1}{1+x^2} \text{ è str. decrescente, non negativa e minore di } 1\\
&\Rightarrow \qquad 7\arccos \left( \frac{1}{1+x^2} \right) \text{ è str. crescente}
\end{split}
\]
ed analogamente:
\[
\begin{split}
x^2 \text{ è str. crescente e non negativa} \qquad &\Rightarrow \qquad \sqrt{1+x^2} \text{ è str. crescente e non negativa}\\
&\Rightarrow \qquad x\ \sqrt{1+x^2} \text{ è str. crescente}
\end{split}
\]
e da ciò segue che la tua $f$ è str. crescente in per $x\geq 0$. Ne viene che:
\[
\begin{split}
\min_{x\geq 0} f(x) &= f(0)\\
\sup_{x\geq 0} f(x) &= \lim_{x\to +\infty} f(x)\, .
\end{split}
\]

Cosa succede per $x\leq 0$?