Studio di funzione al variare di $lambda$
$f(x)=(x^2+lambdax+1)/x^3$ con $f(x)>=0$
I primi passi da fare sono:
$lim_{x \to \+infty}f(x)$
$lim_{x \to \0^+}f(x)$
e ottengo:
$lim_{x \to \+infty}f(x)=0$ $AA lambda in RR$
$lim_{x \to \0^+}f(x)=+infty$ $AA lambda in RR$
in poche parole vuol dire che in $0^+$ vi è un asintoto verticale, e ha come asintoto orizzontale $0$
Dopodichè si tratta di trovare la derivata.
La derivata è unica, poichè essa non assume valore diverso al variare di $lambda$
$f(x)=(x^2+lambdax+1)/x^3 con f(x)>=0$
$f'(x)=(2x^4+lambdax^3-3lambdax^4-3lambdax^3-3x^2)/(x^3)^2 =$
$=((-x^2-2lambdax-3)x^2)/(x^3)^2=$
$=(-x^2-2lambdax-3)/(x^4)$
Adesso faccio lo studio del segno della derivata, con il fine di trovare possibili $max$/$min$ relativi:
$f'(x)=(-x^2-2lambdax-3)/(x^4)$
$(-x^2-2lambdax-3)/(x^4)>0$
$x^4>0$ sempre, $AA x in RR$, tutto positivo
$-x^2-2lambdax-3>0$ in questo caso, possiamo avere diversi casi:
Se $Delta>0$ ho $x_1$ e $x_2$
Se $Delta=0$ ho $x_1=x_2$
Se $Delta<0$ non ho soluzioni
$Delta=(-2lambda)^2-4*-1*-3= 4lambda^2-12=4(lambda^2-3)$
quindi $Delta<0$ quando: $4(lambda^2-3)<0$, trovo il valore di $lambda$: $lambda<+sqrt(3) ^^ lambda<-sqrt(3)$
vuol dire che quando $lambda$ è tra questi due valori, la funzione non ha valori interni tra $]0,+infty[ $ , la funzione è decrescente, tutto negativo
$Delta=0$ quando: $4(lambda^2-3)=0$ significa che $lambda=-sqrt(3)$ $vv$ $lambda=+sqrt(3)$, $x_1=x_2$ e a prescindere di dove sia il punto sull'asse $x$, la funzione è decrescente, tranne in quel punto. Per cui il grafico della funzione va da $]0,+infty[ $
$Delta>0$ significa che $lambda> -sqrt(3)$ $vv$ $lambda>+sqrt(3)$
ho due valori:
$x_1=-lambda+sqrt(lambda^2-3)$ $x_2=-lambda-sqrt(lambda^2-3)$ (Ovviamente è la forma semplificata di una funzione $-ax^2+bx+c$ con $Delta>0$)
verificare dove si trovano $x_1$ e $x_2$, quindi
$-lambda+sqrt(lambda^2-3)>0$ ottengo $-3<0$ quindi non è mai $>0$, e allora sempre $<0$; $x_1<0$
$-lambda-sqrt(lambda^2-3)>0$ ottengo $-3<0$ e questo è vero sempre, quindi $x_2>0$
tuttavia capisco che è positivo tra $x_1$ e $x_2$ e ho $x_1$ un $min$ e $x_2$ un $max$
stabilito dal testo che $f(x)>=0$ ci interessa solamente il $max$.
fin qui è corretto? mi aiutate ad andare avanti?
I primi passi da fare sono:
$lim_{x \to \+infty}f(x)$
$lim_{x \to \0^+}f(x)$
e ottengo:
$lim_{x \to \+infty}f(x)=0$ $AA lambda in RR$
$lim_{x \to \0^+}f(x)=+infty$ $AA lambda in RR$
in poche parole vuol dire che in $0^+$ vi è un asintoto verticale, e ha come asintoto orizzontale $0$
Dopodichè si tratta di trovare la derivata.
La derivata è unica, poichè essa non assume valore diverso al variare di $lambda$
$f(x)=(x^2+lambdax+1)/x^3 con f(x)>=0$
$f'(x)=(2x^4+lambdax^3-3lambdax^4-3lambdax^3-3x^2)/(x^3)^2 =$
$=((-x^2-2lambdax-3)x^2)/(x^3)^2=$
$=(-x^2-2lambdax-3)/(x^4)$
Adesso faccio lo studio del segno della derivata, con il fine di trovare possibili $max$/$min$ relativi:
$f'(x)=(-x^2-2lambdax-3)/(x^4)$
$(-x^2-2lambdax-3)/(x^4)>0$
$x^4>0$ sempre, $AA x in RR$, tutto positivo
$-x^2-2lambdax-3>0$ in questo caso, possiamo avere diversi casi:
Se $Delta>0$ ho $x_1$ e $x_2$
Se $Delta=0$ ho $x_1=x_2$
Se $Delta<0$ non ho soluzioni
$Delta=(-2lambda)^2-4*-1*-3= 4lambda^2-12=4(lambda^2-3)$
quindi $Delta<0$ quando: $4(lambda^2-3)<0$, trovo il valore di $lambda$: $lambda<+sqrt(3) ^^ lambda<-sqrt(3)$
vuol dire che quando $lambda$ è tra questi due valori, la funzione non ha valori interni tra $]0,+infty[ $ , la funzione è decrescente, tutto negativo
$Delta=0$ quando: $4(lambda^2-3)=0$ significa che $lambda=-sqrt(3)$ $vv$ $lambda=+sqrt(3)$, $x_1=x_2$ e a prescindere di dove sia il punto sull'asse $x$, la funzione è decrescente, tranne in quel punto. Per cui il grafico della funzione va da $]0,+infty[ $
$Delta>0$ significa che $lambda> -sqrt(3)$ $vv$ $lambda>+sqrt(3)$
ho due valori:
$x_1=-lambda+sqrt(lambda^2-3)$ $x_2=-lambda-sqrt(lambda^2-3)$ (Ovviamente è la forma semplificata di una funzione $-ax^2+bx+c$ con $Delta>0$)
verificare dove si trovano $x_1$ e $x_2$, quindi
$-lambda+sqrt(lambda^2-3)>0$ ottengo $-3<0$ quindi non è mai $>0$, e allora sempre $<0$; $x_1<0$
$-lambda-sqrt(lambda^2-3)>0$ ottengo $-3<0$ e questo è vero sempre, quindi $x_2>0$
tuttavia capisco che è positivo tra $x_1$ e $x_2$ e ho $x_1$ un $min$ e $x_2$ un $max$
stabilito dal testo che $f(x)>=0$ ci interessa solamente il $max$.
fin qui è corretto? mi aiutate ad andare avanti?
Risposte
Di solito quando di tratta con questi parametri indefiniti, il metodo piu' adatto e' quello di studiarsi separatamente tutti i casi generali possibili.
Puoi trattarla, quindi, dividendola in tre funzioni diverse (riscrivendoti $f(x)$ in funzione delle tre variazioni di $lambda$ che hai gia' individuato), oppure proseguire lasciando $lambda$ come parametro da discutere poi ad ogni "step" del suo studio. (io ti consiglio di dividerla in tre funzioni
)
La limitazione $f(x)>=0$ , da quello che io ho inteso, credo individui il grafico della funzione solo nel Primo e Secondo quadrante. Quindi fai attenzione quando studierai CE e Positivita' della funzione in tutte le sue forme al variare di $lambda$.
Puoi trattarla, quindi, dividendola in tre funzioni diverse (riscrivendoti $f(x)$ in funzione delle tre variazioni di $lambda$ che hai gia' individuato), oppure proseguire lasciando $lambda$ come parametro da discutere poi ad ogni "step" del suo studio. (io ti consiglio di dividerla in tre funzioni
)La limitazione $f(x)>=0$ , da quello che io ho inteso, credo individui il grafico della funzione solo nel Primo e Secondo quadrante. Quindi fai attenzione quando studierai CE e Positivita' della funzione in tutte le sue forme al variare di $lambda$.
gugo, nessuno mi risponde! aiutami tu
Ma LOL... Vero è che oggi è san Guglielmo, però mica sono io il santo! 
Innanzitutto, dove è definita la tua funzione?
Se non cominci dall'inizio è difficile poi dire cose sensate.
Innanzitutto, dove è definita la tua funzione?
Se non cominci dall'inizio è difficile poi dire cose sensate.
è definita in $RR$ \ ${0}$
Aspetta un attimo Marcomix... Mi devi spiegare una cosa.
Che significa [tex]$f(x):=\frac{x^2+\lambda x+1}{x^3} \ \text{con $f(x)\geq 0$}$[/tex]?
Vuol dire che devi studiare il segno di [tex]$f(x)$[/tex], cioè risolvere la disequazione [tex]$f(x)\geq 0$[/tex]?
Oppure vuol dire che devi considerare [tex]$f$[/tex] definita solo nei punti [tex]$x$[/tex] in cui risulta [tex]$f(x)\geq 0$[/tex] (e studiare tale restrizione di [tex]$f$[/tex])?
Che significa [tex]$f(x):=\frac{x^2+\lambda x+1}{x^3} \ \text{con $f(x)\geq 0$}$[/tex]?
Vuol dire che devi studiare il segno di [tex]$f(x)$[/tex], cioè risolvere la disequazione [tex]$f(x)\geq 0$[/tex]?
Oppure vuol dire che devi considerare [tex]$f$[/tex] definita solo nei punti [tex]$x$[/tex] in cui risulta [tex]$f(x)\geq 0$[/tex] (e studiare tale restrizione di [tex]$f$[/tex])?
si vuole sapere cosa succede, quando la funzione è maggiore di $0$, cioè studiare il grafico solo nel 1 e 4 quadrante!
Allora innanzitutto devi vedere com'è fatto l'insieme [tex]$X:=\{ x\in \mathbb{R} \setminus \{ 0\} :\ f(x)\geq 0\}$[/tex] al variare di [tex]$\lambda$[/tex] (ad esempio: è un intervallo? è unione d'intervalli? è vuoto? etc...).
Dopodiché ti puoi porre il problema dei limiti, e dopo ancora quello delle derivate; infatti, metti che per qualche valore di [tex]$\lambda$[/tex] risulta [tex]$X=]a,b[$[/tex] con [tex]$a
Le cose vanno fatte con ordine.
Dopodiché ti puoi porre il problema dei limiti, e dopo ancora quello delle derivate; infatti, metti che per qualche valore di [tex]$\lambda$[/tex] risulta [tex]$X=]a,b[$[/tex] con [tex]$a
Le cose vanno fatte con ordine.
ok, ho capito, che vuoi dire, in questo caso nonostante tutto, direi che mi è andata bene..
faccio i limiti e derivate.. purtroppo.. deve esserci qualche errore su $Delta>0$, perchè ottengo un max quando (credo) per logicità dovrei avere un min.
Puoi controllare per favore? ti chiedo solo questo!
in realtà potrebbe anche tornarmi, perchè una volta scoperto dove stanno $x_1$ e $x_2$, facendo lo studio del segno, avrei "meno" all'interno e "più" agli esterni dei due valori $x_1$ e $x_2$, tuttavia ragiono così, se mi sono dimenticato che in realtà ci si deve comportare come se la funzione fosse $ -ax^2+bx+c$, (con il meno davanti a "a") per cui è tutto invertito.. si hanno i "più" all'interno e i "meno" agli esterni dei due valori.. per cui viene fuori un max.
faccio i limiti e derivate.. purtroppo.. deve esserci qualche errore su $Delta>0$, perchè ottengo un max quando (credo) per logicità dovrei avere un min.
Puoi controllare per favore? ti chiedo solo questo!
in realtà potrebbe anche tornarmi, perchè una volta scoperto dove stanno $x_1$ e $x_2$, facendo lo studio del segno, avrei "meno" all'interno e "più" agli esterni dei due valori $x_1$ e $x_2$, tuttavia ragiono così, se mi sono dimenticato che in realtà ci si deve comportare come se la funzione fosse $ -ax^2+bx+c$, (con il meno davanti a "a") per cui è tutto invertito.. si hanno i "più" all'interno e i "meno" agli esterni dei due valori.. per cui viene fuori un max.
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