Studio di funzione a più variabili.
Lunedì ho sostenuto la prova scritta dell'esame in oggetto e ora settimana prossima dovrò sostenere la prova orale. Prima però vorrei sapere se e cosa ho sbagliato della prova.. (***Le risposte sotto questo post sono state fatte ad un quesito precedente***)
La funzione da studiare era questa:
$text{Stabilire per quali valori dei paramentri non negativi a,b la funzione:}$
$f(x)={((|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2),if (x;y)!=(0;0)),(0,if (x;y)=(0;0)):}$
$text{è continua nell'origine, derivabile nell'origine in ogni direzione, differenziabile nell'origine.}$
$text{Continuità:}$
Ho calcolato i limiti per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$.
Se per gli assi cartesiani il risultato è $0$, il
$\lim_{(x;y) \to \(x;m*x)}(|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2)= lim_{(x;y) \to \(x;m*x)}(|x|^(a+b)*|m|^b)/(x^2(1+m^2))$ dipendente appunto per i parametri $a,b$.
Arrivo alla condizione quindi che devo impostare questi parametri così:
$a+b>=2$
in modo tale che il limite sia dipendente o dal parametro $m$ o appunto dalla $x$.
E' giusto questo procedimento?
$text{Derivabilità:}$
Per verificare la derivabilità applico il limite per un vettore generico con parametri $\alpha$, $\beta$:
$lim_(h->0)(f(x_0+h*alpha; y_0+h*beta)-f(x_0;y_0))/h$.
Questo limite mi risulta uguale a
$lim_(h->0)(|h*alpha|^a*|h*beta|^b)/(h*(h^2*alpha^2+h^2*beta^2))= lim_(h->0)(h^(a+b)*|alpha|^a*|beta|^b)/(h^3*(alpha^2+beta^2))$.
Anche in questo caso imposto i parametri in modo tale che mi risulti un limite finito e cioè imposto
$a+b>=3$. In questo modo avrò o il limite tendente a $0$ oppure un limite dipendente dai parametri $a,b$.
Giusto?
$text{Differenziabilità:}$
Applico il limite del differenziale totale e cioè:
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
Le derivate parziali a $(0,0)$ si annullano e quindi rimane:
$lim_(x,y->0) (|x|^a*|y|^b)/((x^2+y^2)*sqrt(x^2+y^2))$
Mi restringo nuovamente il limite per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$.
Per gli assi cartesiani il limite è pari a $0$, mentre per la bisettrice è pari ad
$lim_(x,y->(x;m*x)) (|x|^a*|m*x|^b)/((x^2+m^2*x^2)*sqrt(x^2*(1+m^2)))=lim_(x,y->(x;m*x)) (|x|^a+b*|m|^b)/(x^3*(1+m^2)*sqrt((1+m^2)))$
Anche questa volta impongo i parametri in modo tale che questo limite mi risulti uguale a $0$ così:
$a+b>3$.
Giusto?
******** Il secondo esercizio dell'appello invece non mi è molto chiaro. Mi viene richiesto questo:
Due funzioni differenziabili in un aperto connesso, con derivate parziali fra loro uguali, differiscono per una costante. Utilizzare tale proprietà per discutere l'identità (cioè per determinare se e in quale insieme esse valgono):
$(a)$ $arctan(x/y)+arctan(y/x)= (pi/2)$
$(b)$ $arctan(x/y)+arctan(y/x)= -(pi/2)$
Non riesco proprio a trovare una soluzione... :\
Ringrazio comunque per la pazienza chi è riuscito ad arrivare fino alla fine di questo post..!
La funzione da studiare era questa:
$text{Stabilire per quali valori dei paramentri non negativi a,b la funzione:}$
$f(x)={((|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2),if (x;y)!=(0;0)),(0,if (x;y)=(0;0)):}$
$text{è continua nell'origine, derivabile nell'origine in ogni direzione, differenziabile nell'origine.}$
$text{Continuità:}$
Ho calcolato i limiti per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$.
Se per gli assi cartesiani il risultato è $0$, il
$\lim_{(x;y) \to \(x;m*x)}(|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2)= lim_{(x;y) \to \(x;m*x)}(|x|^(a+b)*|m|^b)/(x^2(1+m^2))$ dipendente appunto per i parametri $a,b$.
Arrivo alla condizione quindi che devo impostare questi parametri così:
$a+b>=2$
in modo tale che il limite sia dipendente o dal parametro $m$ o appunto dalla $x$.
E' giusto questo procedimento?
$text{Derivabilità:}$
Per verificare la derivabilità applico il limite per un vettore generico con parametri $\alpha$, $\beta$:
$lim_(h->0)(f(x_0+h*alpha; y_0+h*beta)-f(x_0;y_0))/h$.
Questo limite mi risulta uguale a
$lim_(h->0)(|h*alpha|^a*|h*beta|^b)/(h*(h^2*alpha^2+h^2*beta^2))= lim_(h->0)(h^(a+b)*|alpha|^a*|beta|^b)/(h^3*(alpha^2+beta^2))$.
Anche in questo caso imposto i parametri in modo tale che mi risulti un limite finito e cioè imposto
$a+b>=3$. In questo modo avrò o il limite tendente a $0$ oppure un limite dipendente dai parametri $a,b$.
Giusto?
$text{Differenziabilità:}$
Applico il limite del differenziale totale e cioè:
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
Le derivate parziali a $(0,0)$ si annullano e quindi rimane:
$lim_(x,y->0) (|x|^a*|y|^b)/((x^2+y^2)*sqrt(x^2+y^2))$
Mi restringo nuovamente il limite per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$.
Per gli assi cartesiani il limite è pari a $0$, mentre per la bisettrice è pari ad
$lim_(x,y->(x;m*x)) (|x|^a*|m*x|^b)/((x^2+m^2*x^2)*sqrt(x^2*(1+m^2)))=lim_(x,y->(x;m*x)) (|x|^a+b*|m|^b)/(x^3*(1+m^2)*sqrt((1+m^2)))$
Anche questa volta impongo i parametri in modo tale che questo limite mi risulti uguale a $0$ così:
$a+b>3$.
Giusto?
******** Il secondo esercizio dell'appello invece non mi è molto chiaro. Mi viene richiesto questo:
Due funzioni differenziabili in un aperto connesso, con derivate parziali fra loro uguali, differiscono per una costante. Utilizzare tale proprietà per discutere l'identità (cioè per determinare se e in quale insieme esse valgono):
$(a)$ $arctan(x/y)+arctan(y/x)= (pi/2)$
$(b)$ $arctan(x/y)+arctan(y/x)= -(pi/2)$
Non riesco proprio a trovare una soluzione... :\
Ringrazio comunque per la pazienza chi è riuscito ad arrivare fino alla fine di questo post..!
Risposte
perchè i limiti ti escono diversi? restringendoti agli assi la funzione è identicamente nulla e andando avanti puoi dimostrare che è continua
Ciao 
Per quanto riguarda la continuità, se usi le coordinate polari ti accorgi facilmente che il limite per $(x,y)\to(0,0)$ è proprio $f(0)=0$, per cui la funzione è continua (e non potrebbe essere altrimenti: l'esercizio sarebbe finito lì
)
Poi non capisco che bisogno c'era di restringersi prima agli assi e poi alla generica retta passante per l'origine...bastava solo quest'ultima restrizione...e in ogni caso avrai sbagliato i calcoli: anche col metodo delle restrizioni trovi che il limite è $0$ $\forall m$.
Per la derivabilità ci siamo per la differenziabilità puoi procedere in due modi: puoi usare il teorema del differenziale totale (vedi libro ) se $f$ risulta essere di classe $\mathcal{C}^1$ intorno all'origine; se ciò non fosse possibile devi calcolare (ahimè) un altro limite (ancora vedi libro , devi applicare la definizione).
Per quanto riguarda la continuità, se usi le coordinate polari ti accorgi facilmente che il limite per $(x,y)\to(0,0)$ è proprio $f(0)=0$, per cui la funzione è continua (e non potrebbe essere altrimenti: l'esercizio sarebbe finito lì
)Poi non capisco che bisogno c'era di restringersi prima agli assi e poi alla generica retta passante per l'origine...bastava solo quest'ultima restrizione...e in ogni caso avrai sbagliato i calcoli: anche col metodo delle restrizioni trovi che il limite è $0$ $\forall m$.
Per la derivabilità ci siamo
per la differenziabilità puoi procedere in due modi: puoi usare il teorema del differenziale totale (vedi libro ) se $f$ risulta essere di classe $\mathcal{C}^1$ intorno all'origine; se ciò non fosse possibile devi calcolare (ahimè) un altro limite (ancora vedi libro , devi applicare la definizione).
"walter89":
perchè i limiti ti escono diversi? restringendoti agli assi la funzione è identicamente nulla e andando avanti puoi dimostrare che è continua
"Plepp":
Ciao
Per quanto riguarda la continuità, se usi le coordinate polari ti accorgi facilmente che il limite per $(x,y)\to(0,0)$ è proprio $f(0)=0$, per cui la funzione è continua (e non potrebbe essere altrimenti: l'esercizio sarebbe finito lì
Poi non capisco che bisogno c'era di restringersi prima agli assi e poi alla generica retta passante per l'origine...bastava solo quest'ultima restrizione...e in ogni caso avrai sbagliato i calcoli: anche col metodo delle restrizioni trovi che il limite è $0$ $\forall m$.
Per la derivabilità ci siamo
Intanto grazie per le risposte!
Comunque si esatto, che erroraccio stupido! (Uso la restrizione sugli assi perchè mi trovo meglio..!
)Ora, ho trovato l'errore al primo punto!
Per quanto riguarda la derivabilità, trovato quel risultato, posso dire che la funzione è derivabile in qualsiasi direzione? Cosa sarebbe dovuto uscirmi fuori nel caso avessi avuto una funzione non derivabile in qualsiasi direzione? Infinito?
Per la differenziabilità invece ho fatto prima le derivate parziali per $x$ e per $y$, dopodichè ho applicato questo limite:
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))$
che mi risulta essere uguale a $0$ (le derivate parziali si annullano in $(0,0)$ e quindi rimane il limite della funzione fratto $sqrt(x^2 + y^2)$).
Quindi in questo modo ho trovato che la funzione è differenziabile nell'origine (cioè che esiste un piano tangente in $(0,0)$ - preciso per confermare la "teoria che ho capito io"
)?Grazie di nuovo!!
Per quanto riguarda la derivabilità, trovato quel risultato, posso dire che la funzione è derivabile in qualsiasi direzione? Cosa sarebbe dovuto uscirmi fuori nel caso avessi avuto una funzione non derivabile in qualsiasi direzione? Infinito?
...o che il limite non esiste
Comunque si, $f$ è derivabile in ogni direzione: questo perchè il risultato che hai trovato ha senso se $a^2+b^2\ne 0$, il che è sempre vero trattandosi delle componenti di un generico versore ($\mathbf{v}=(a,b)$) di $RR^2$.
"Plepp":Per quanto riguarda la derivabilità, trovato quel risultato, posso dire che la funzione è derivabile in qualsiasi direzione? Cosa sarebbe dovuto uscirmi fuori nel caso avessi avuto una funzione non derivabile in qualsiasi direzione? Infinito?
...o che il limite non esiste
Giusto, esatto! Grazie di nuovo comunque, sono spariti parecchi dubbi!!!
Ehmmmm... Mi è sorto un ulteriore dubbio. Sto cercando di calcolare i punti di massimo e di minimo relativo. Mi calcolo le derivate parziali quindi e le pongo uguale a $0$ per trovarmi appunto il punto nel piano.
$(\delta*f) / (\delta*x) = (y*(y^2+y^2)-x^2*y)/(sqrt(x^2+y^2)*(x^2+y^2))$
$(\delta*f) / (\delta*y) = (x*(y^2+y^2)-x*y^2)/(sqrt(x^2+y^2)*(x^2+y^2))$
Solo che eguagliandole a $0$ mi esce comunque il punto $(0,0)$ che dalla funzione iniziale è possibile solo se appunto $f(x,y)=0$
Cosa c'è che non va?
$(\delta*f) / (\delta*x) = (y*(y^2+y^2)-x^2*y)/(sqrt(x^2+y^2)*(x^2+y^2))$
$(\delta*f) / (\delta*y) = (x*(y^2+y^2)-x*y^2)/(sqrt(x^2+y^2)*(x^2+y^2))$
Solo che eguagliandole a $0$ mi esce comunque il punto $(0,0)$ che dalla funzione iniziale è possibile solo se appunto $f(x,y)=0$
Cosa c'è che non va?
Non ho controllato attentamente i calcoli, ma se ti ritrovi che il gradiente è nullo in $(0,0)$, cosa non ti convince?
Cosa ci dev'essere che non va? Avresti concluso che l'origine è un potenziale punto di estremo o di sella...in ogni caso, non capisco come tu abbia ottenuto che $(0,0)$ è soluzione del sistema i denominatori delle derivate parziali si annullano...in $(0,0)$ le derivate parziali le devi calcolare con il limite...se ti vengono entrambe $0$ allora l'origine è un punto critico.
Non so se sono stato chiaro
PS: se (0,0) risulta essere un punto critico, ti accorgi facilmente che non puo essere che un punto di sella, facendo attenzione al segno di $f$
PPS: il limite l'hai già calcolato quando hai calcolato la generica derivata direzionale (basta che ad $(a,b)$ sostituisci i versori degli assi)!
i denominatori delle derivate parziali si annullano...in $(0,0)$ le derivate parziali le devi calcolare con il limite...se ti vengono entrambe $0$ allora l'origine è un punto critico.Non so se sono stato chiaro
PS: se (0,0) risulta essere un punto critico, ti accorgi facilmente che non puo essere che un punto di sella, facendo attenzione al segno di $f$
PPS: il limite l'hai già calcolato quando hai calcolato la generica derivata direzionale (basta che ad $(a,b)$ sostituisci i versori degli assi)!
No è che ho visto il grafico della funzione e mi sono bloccato... :S
Grazie ancora ragazzi (grazie sopratutto a Plepp per la pazienza )! Spesso mi faccio assalire dai dubbi e mi blocco completamente.. 
Grazie ancora ragazzi (grazie sopratutto a Plepp per la pazienza
)! Spesso mi faccio assalire dai dubbi e mi blocco completamente..
Lunedì ho sostenuto la prova scritta dell'esame in oggetto e ora settimana prossima dovrò sostenere la prova orale. Prima però vorrei sapere se e cosa ho sbagliato della prova..
La funzione da studiare era questa:
$text{Stabilire per quali valori dei paramentri non negativi a,b la funzione:}$
$f(x)={((|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2),if (x;y)!=(0;0)),(0,if (x;y)=(0;0)):}$
$text{è continua nell'origine, derivabile nell'origine in ogni direzione, differenziabile nell'origine.}$
$text{Continuità:}$
Ho calcolato i limiti per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$.
Se per gli assi cartesiani il risultato è $0$, il
$\lim_{(x;y) \to \(x;m*x)}(|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2)= lim_{(x;y) \to \(x;m*x)}(|x|^(a+b)*|m|^b)/(x^2(1+m^2))$ dipendente appunto per i parametri $a,b$.
Arrivo alla condizione quindi che devo impostare questi parametri così:
$a+b>=2$
in modo tale che il limite sia dipendente o dal parametro $m$ o appunto dalla $x$.
E' giusto questo procedimento?
$text{Derivabilità:}$
Per verificare la derivabilità applico il limite per un vettore generico con parametri $\alpha$, $\beta$:
$lim_(h->0)(f(x_0+h*alpha; y_0+h*beta)-f(x_0;y_0))/h$.
Questo limite mi risulta uguale a
$lim_(h->0)(|h*alpha|^a*|h*beta|^b)/(h*(h^2*alpha^2+h^2*beta^2))= lim_(h->0)(h^(a+b)*|alpha|^a*|beta|^b)/(h^3*(alpha^2+beta^2))$.
Anche in questo caso imposto i parametri in modo tale che mi risulti un limite finito e cioè imposto
$a+b>=3$. In questo modo avrò o il limite tendente a $0$ oppure un limite dipendente dai parametri $a,b$.
Giusto?
$text{Differenziabilità:}$
Applico il limite del differenziale totale e cioè:
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
Le derivate parziali a $(0,0)$ si annullano e quindi rimane:
$lim_(x,y->0) (|x|^a*|y|^b)/((x^2+y^2)*sqrt(x^2+y^2))$
Mi restringo nuovamente il limite per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$.
Per gli assi cartesiani il limite è pari a $0$, mentre per la bisettrice è pari ad
$lim_(x,y->(x;m*x)) (|x|^a*|m*x|^b)/((x^2+m^2*x^2)*sqrt(x^2*(1+m^2)))=lim_(x,y->(x;m*x)) (|x|^a+b*|m|^b)/(x^3*(1+m^2)*sqrt((1+m^2)))$
Anche questa volta impongo i parametri in modo tale che questo limite mi risulti uguale a $0$ così:
$a+b>3$.
Giusto?
******** Il secondo esercizio dell'appello invece non mi è molto chiaro. Mi viene richiesto questo:
Due funzioni differenziabili in un aperto connesso, con derivate parziali fra loro uguali, differiscono per una costante. Utilizzare tale proprietà per discutere l'identità (cioè per determinare se e in quale insieme esse valgono):
$(a)$ $arctan(x/y)+arctan(y/x)= (pi/2)$
$(b)$ $arctan(x/y)+arctan(y/x)= -(pi/2)$
Non riesco proprio a trovare una soluzione... :\
Ringrazio comunque per la pazienza chi è riuscito ad arrivare fino alla fine di questo post..!
La funzione da studiare era questa:
$text{Stabilire per quali valori dei paramentri non negativi a,b la funzione:}$
$f(x)={((|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2),if (x;y)!=(0;0)),(0,if (x;y)=(0;0)):}$
$text{è continua nell'origine, derivabile nell'origine in ogni direzione, differenziabile nell'origine.}$
$text{Continuità:}$
Ho calcolato i limiti per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$.
Se per gli assi cartesiani il risultato è $0$, il
$\lim_{(x;y) \to \(x;m*x)}(|x|^a*|y|^b)/(x^2+y^2)= lim_{(x;y) \to \(x;m*x)}(|x|^(a+b)*|m|^b)/(x^2(1+m^2))$ dipendente appunto per i parametri $a,b$.
Arrivo alla condizione quindi che devo impostare questi parametri così:
$a+b>=2$
in modo tale che il limite sia dipendente o dal parametro $m$ o appunto dalla $x$.
E' giusto questo procedimento?
$text{Derivabilità:}$
Per verificare la derivabilità applico il limite per un vettore generico con parametri $\alpha$, $\beta$:
$lim_(h->0)(f(x_0+h*alpha; y_0+h*beta)-f(x_0;y_0))/h$.
Questo limite mi risulta uguale a
$lim_(h->0)(|h*alpha|^a*|h*beta|^b)/(h*(h^2*alpha^2+h^2*beta^2))= lim_(h->0)(h^(a+b)*|alpha|^a*|beta|^b)/(h^3*(alpha^2+beta^2))$.
Anche in questo caso imposto i parametri in modo tale che mi risulti un limite finito e cioè imposto
$a+b>=3$. In questo modo avrò o il limite tendente a $0$ oppure un limite dipendente dai parametri $a,b$.
Giusto?
$text{Differenziabilità:}$
Applico il limite del differenziale totale e cioè:
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
Le derivate parziali a $(0,0)$ si annullano e quindi rimane:
$lim_(x,y->0) (|x|^a*|y|^b)/((x^2+y^2)*sqrt(x^2+y^2))$
Mi restringo nuovamente il limite per gli assi cartesiani e per la retta $y=m*x$.
Per gli assi cartesiani il limite è pari a $0$, mentre per la bisettrice è pari ad
$lim_(x,y->(x;m*x)) (|x|^a*|m*x|^b)/((x^2+m^2*x^2)*sqrt(x^2*(1+m^2)))=lim_(x,y->(x;m*x)) (|x|^a+b*|m|^b)/(x^3*(1+m^2)*sqrt((1+m^2)))$
Anche questa volta impongo i parametri in modo tale che questo limite mi risulti uguale a $0$ così:
$a+b>3$.
Giusto?
******** Il secondo esercizio dell'appello invece non mi è molto chiaro. Mi viene richiesto questo:
Due funzioni differenziabili in un aperto connesso, con derivate parziali fra loro uguali, differiscono per una costante. Utilizzare tale proprietà per discutere l'identità (cioè per determinare se e in quale insieme esse valgono):
$(a)$ $arctan(x/y)+arctan(y/x)= (pi/2)$
$(b)$ $arctan(x/y)+arctan(y/x)= -(pi/2)$
Non riesco proprio a trovare una soluzione... :\
Ringrazio comunque per la pazienza chi è riuscito ad arrivare fino alla fine di questo post..!
Cos'è questo, un repost? Cancellalo subito, per favore. Riscrivi solo qualcosa che aggiunga genuinamente informazioni a quanto scritto prima, altrimenti rendi difficile la consultazione del thread.
Comunque, il secondo esercizio è bello. Comincia a verificare dove le funzioni \(\arctan(x/y)\) e \(\arctan(y/x)\) sono differenziabili (questo è facile, puoi anche andare a senso), e verifica che le loro derivate parziali sono uguali. Poi fai un disegno e cerca di trovare dei punti "facili" in cui l'identità è verificata. La proprietà citata ti permetterà di concludere che l'identità vale in tutta la componente connessa del dominio che contiene tali punti.
Comunque, il secondo esercizio è bello. Comincia a verificare dove le funzioni \(\arctan(x/y)\) e \(\arctan(y/x)\) sono differenziabili (questo è facile, puoi anche andare a senso), e verifica che le loro derivate parziali sono uguali. Poi fai un disegno e cerca di trovare dei punti "facili" in cui l'identità è verificata. La proprietà citata ti permetterà di concludere che l'identità vale in tutta la componente connessa del dominio che contiene tali punti.
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