Studio di funzione a due variabili f(x,y)
salve, qualche anima pia sa dirmi come si fa uno studio completo di una funzione a più variabili?
ad esempio
$f(x,y)=x^3*log(x^2+y^2)$
come si determina dominio etc se è prolungabile per continuità ed eventuali estremi relativi etc
grazie in anticipo
ad esempio
$f(x,y)=x^3*log(x^2+y^2)$
come si determina dominio etc se è prolungabile per continuità ed eventuali estremi relativi etc
grazie in anticipo
Risposte
Ti do la risposta che ti darebbe ogni altro frequentatore di questo forum: tu come faresti, in questo caso, a rispondere alle domande che poni?
Ad esempio, il dominio chi è? E la funzione dove è continua?
Ciao e buon proseguimento sul forum.
Ad esempio, il dominio chi è? E la funzione dove è continua?
Ciao e buon proseguimento sul forum.
farei qualcosa se solo sapessi come comportarmi purtroppo non riesco a trovare un metodo e non ho mai fatto studi di funzione a più variabile ecco perchè ne chiedevo la spiegazione (ho buone nozioni di tutta l'analisi uno) perciò vorrei sapere solo come ci si comporta in una funzione a più variabili per il resto non è difficile
grazie per il benvenuto
grazie per il benvenuto
normalmente farei semplicemente D: $x^2+y^2>0$ (e intuitivamente sarebbe verificata per ogni $AA x,y in R^2-{0}$ ) e studiarne la continuità in $0^+$ e $0^-$ e se da entrambi otteniamo un numero finito... ma se fosse cosi come continuerei? (in pratica il dominio si fa esattamente come in f(x)??
successivamente per la f(x,y) si studia la parità,disparità? poi farei $x^3*log(x^2+y^2)>0$ per studiarne la positività ma non saprei come muovermi visto che di solito si trova la x>0 mentre qua abbiamo 2 variabili, poi studierei gli asintoti ma avendo due variabili e teoricamente ( almeno cosi penso) dovrei considerare $lim_(x->+-oo y->+-oo) x^3*log(x^2+y^2)= $ che per $+oo$, ottengo $+oo$ e quindi cercherei asintoti obliqui.. e qui sorge un altro dubbio.. $m=f(x)/x$ in questo caso sarebbe? (tutto questo sempre ammesso che si faccia lo studio degli asintoti o che non si separi la funzione in due funzioni separate e quindi asintoti separati con grafici separati e messi a confronto) poi passando alle derivate... se applico la formula $f'(x)*g(x)+f(X)*g'(x)$ otterei $f'(x)=3*x^2$ e $g'(x)=(1/(x^2+y^2))*(2x+2y)$ quindi $f'(x,y)=(3*x^2)(log(x^2+y^2))+(x^3)(2x+2y/x^2+y^2)$ ma come gia detto non ha senso proprio perchè parliamo di f(x) ma noi stiamo studiando f(x,y).... successivamente al calcolo della derivata cercherei i punti stazionari(o critici) quindi $f'(x,y)=0$ quindi una volta trovati i punti dovrei farmi la matrice Hessiana e a seconda del suo determinante capirei se ho massimi minimi o punti di sella.
per il calcolo degli estremi non so dove partire(a meno che non si intendano max e min) almeno questi sono i ragionamenti su cui arrivo per questo mi basterebbe solo capire come muovermi avendo funzioni (x,y)
spero di aver esposto meglio il mio problema
ho bisogno solo dell'input
successivamente per la f(x,y) si studia la parità,disparità? poi farei $x^3*log(x^2+y^2)>0$ per studiarne la positività ma non saprei come muovermi visto che di solito si trova la x>0 mentre qua abbiamo 2 variabili, poi studierei gli asintoti ma avendo due variabili e teoricamente ( almeno cosi penso) dovrei considerare $lim_(x->+-oo y->+-oo) x^3*log(x^2+y^2)= $ che per $+oo$, ottengo $+oo$ e quindi cercherei asintoti obliqui.. e qui sorge un altro dubbio.. $m=f(x)/x$ in questo caso sarebbe? (tutto questo sempre ammesso che si faccia lo studio degli asintoti o che non si separi la funzione in due funzioni separate e quindi asintoti separati con grafici separati e messi a confronto) poi passando alle derivate... se applico la formula $f'(x)*g(x)+f(X)*g'(x)$ otterei $f'(x)=3*x^2$ e $g'(x)=(1/(x^2+y^2))*(2x+2y)$ quindi $f'(x,y)=(3*x^2)(log(x^2+y^2))+(x^3)(2x+2y/x^2+y^2)$ ma come gia detto non ha senso proprio perchè parliamo di f(x) ma noi stiamo studiando f(x,y).... successivamente al calcolo della derivata cercherei i punti stazionari(o critici) quindi $f'(x,y)=0$ quindi una volta trovati i punti dovrei farmi la matrice Hessiana e a seconda del suo determinante capirei se ho massimi minimi o punti di sella.
per il calcolo degli estremi non so dove partire(a meno che non si intendano max e min) almeno questi sono i ragionamenti su cui arrivo per questo mi basterebbe solo capire come muovermi avendo funzioni (x,y)
spero di aver esposto meglio il mio problema
ho bisogno solo dell'input
Benissimo! Penso che troverai certamente chi ti darà risposte dettagliate. Mi limito alle prime righe.
Ok per il dominio, solo che scriverei $AA (x,y) in R^2-{(0,0)}$
Per lo studio della continuità, in $(0,0)$ non ha senso, visto che la funzione non è definita. Si tratta casomai di vedere se la funzione ha limite finito per $(x,y) \to (0,0)$. Se così fosse, allora potrebbe essere prolungata per continuità in $(0,0)$. Mi sa che grosso modo è quello che intendevi dire tu, ma va detto in modo preciso.
Detto questo, attenzione che i limiti "da destra" e "da sinistra" si fanno su $RR$, ma in $RR^2$ non hanno senso!
"VashTheSoul":
normalmente farei semplicemente D: $x^2+y^2>0$ (e intuitivamente sarebbe verificata per ogni $AA x,y in R^2-{0}$ ) e studiarne la continuità in $0^+$ e $0^-$ e se da entrambi otteniamo un numero finito... ma se fosse cosi come continuerei? (in pratica il dominio si fa esattamente come in f(x)??
Ok per il dominio, solo che scriverei $AA (x,y) in R^2-{(0,0)}$
Per lo studio della continuità, in $(0,0)$ non ha senso, visto che la funzione non è definita. Si tratta casomai di vedere se la funzione ha limite finito per $(x,y) \to (0,0)$. Se così fosse, allora potrebbe essere prolungata per continuità in $(0,0)$. Mi sa che grosso modo è quello che intendevi dire tu, ma va detto in modo preciso.
Detto questo, attenzione che i limiti "da destra" e "da sinistra" si fanno su $RR$, ma in $RR^2$ non hanno senso!
ok ma non capisco ancora i procedimenti, non potresti farmi un esempio pratico? (comunque si intendevo proprio se la funzione era prolungabile per continuità ma normalmente si fa $lim_(x->0^+)=lim_(x->0^-)=l$ in quasto caso come mi muoverei e per tutto il resto che operazioni dovrei apportare? dovrei fare
$lim_((x,y)->(0^+,0^+))x^3*log(x^2+y^2)=>lim_((x,y)->(0^+,0^+))(0^+)^3*log((0^+)^2+(0^+)^2)=0$ ???? e quindi f(x,y) è prolungabile per continuita? e come si comportano le forme indeterminate ci sono regole particolari anche per i limiti?
$lim_((x,y)->(0^+,0^+))x^3*log(x^2+y^2)=>lim_((x,y)->(0^+,0^+))(0^+)^3*log((0^+)^2+(0^+)^2)=0$ ???? e quindi f(x,y) è prolungabile per continuita? e come si comportano le forme indeterminate ci sono regole particolari anche per i limiti?
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