Studio di funzione a 3 variabili (Massimi e minimi)
Avendo $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+e^(x^2+z^2)$ e procedendo col solito metodo (non riporto il procedimento ma ho verificato che sia corretto) si ottiene che l'unico punto critico è l'origine $ O(0,0,0) $ e
l'Hessiana relativa è $H_{f} (0,0,0) = ((4,0,0),(0,2,0),(0,0,0))$ che è semidefinita positiva.
Ora, si ha $f(0,0,0)=1$ ma non so come portare a termine lo studio.
Nel caso di studio inconcludente tramite Hessiana in $RR^2$ utilizzo solitamente il metodo del segno studiando per esempio la funzione nell'intorno del punto critico lungo gli assi, o lungo la bisettrice; oppure in alternativa ponendo la $f(x,y)> "valore punto critico"$.
Nessuno di questi due metodi mi sembra tuttavia banale nella funzione sopra, qualche consiglio?
l'Hessiana relativa è $H_{f} (0,0,0) = ((4,0,0),(0,2,0),(0,0,0))$ che è semidefinita positiva.
Ora, si ha $f(0,0,0)=1$ ma non so come portare a termine lo studio.
Nel caso di studio inconcludente tramite Hessiana in $RR^2$ utilizzo solitamente il metodo del segno studiando per esempio la funzione nell'intorno del punto critico lungo gli assi, o lungo la bisettrice; oppure in alternativa ponendo la $f(x,y)> "valore punto critico"$.
Nessuno di questi due metodi mi sembra tuttavia banale nella funzione sopra, qualche consiglio?
Risposte
Beh in questo caso devi pregare che non sia un massimo o un minimo perché in quel caso non saprei che pesci prendere.
Direi che questa volta siamo fortunati (grazie a quel $-$).
Quindi la prima cosa che mi viene spontaneo fare è "affettare la funzione" e studiare le diverse funzioni a due variabili che saltano fuori, e vedere cosa rappresenta l'origine per le funzioni a due variabili che saltano fuori.
ad esempio imponiamo che $z=0$ e studiamo la funzione $f(x,y,0)=f(x,y)=x^2+y^2+e^{x^2}$ se calcoliamo l'Hessiana scopriremo che l'origine è un minimo per la funzione ristretta al piano $z=0$.
Quindi se è un minimo dovrà esserlo lungo ogni superficie che attraversa l'origine, altrimenti sarà un punto di Sella.
Se proviamo a studiare la funzione ora affettata in altro modo ad esempio $y=0$ otteremo che per tale piano l'origine è un punto di Sella, dunque l'origine è un punto di sella anche per la funzione iniziale.
Direi che questa volta siamo fortunati (grazie a quel $-$).
Quindi la prima cosa che mi viene spontaneo fare è "affettare la funzione" e studiare le diverse funzioni a due variabili che saltano fuori, e vedere cosa rappresenta l'origine per le funzioni a due variabili che saltano fuori.
ad esempio imponiamo che $z=0$ e studiamo la funzione $f(x,y,0)=f(x,y)=x^2+y^2+e^{x^2}$ se calcoliamo l'Hessiana scopriremo che l'origine è un minimo per la funzione ristretta al piano $z=0$.
Quindi se è un minimo dovrà esserlo lungo ogni superficie che attraversa l'origine, altrimenti sarà un punto di Sella.
Se proviamo a studiare la funzione ora affettata in altro modo ad esempio $y=0$ otteremo che per tale piano l'origine è un punto di Sella, dunque l'origine è un punto di sella anche per la funzione iniziale.
Mmh, c'è qualcosa che non quadra, visto che l'avevo verificata con wolframalpha e risultava effettivamente un minimo..
http://tinyurl.com/hwhchc2
http://tinyurl.com/hwhchc2
Cavolo hai ragione ho sbagliato a calcolare l'hessiana.
Sorry.
Sorry.
"TeM":
Ora, dal momento che per ogni \(t > 0\) si ha \[ e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2} + \dots > 1 + t\,\]
Sbaglio o questa relazione vale $\forall t \in RR $ , e quindi non c'è bisogno di separare i casi $(x,z) = $ oppure $ != (0,0) $ ?
Comunque grazie mille per la dritta, ora è abbastanza chiaro
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