Studio di funzione a 2 variabili - Punti critici
Ho una funzione f(x,y) (ad es. = xy/(x-y))che vale O nell'origine.
Si chiede di studiarne la continuità, l'esistenza delle derivate parziali, la differenziabilità.
Mi potreste illustrare precisamente i vari passaggi da fare? (non nell'esempio dato, ma in generale)
Altra domanda: mi sapete dire come si fa precisamente (mediante l'utilizzo della matrice hessiana) a stabilire se un punto è di massimo, minimo o di sella? Grazie
P.s. io mi ero iscritto tempo fa col nick whedon, però mi sono scordato la password. se non è consentito tenere due nick, vi prego di cancellare quello vecchio. grazie
Si chiede di studiarne la continuità, l'esistenza delle derivate parziali, la differenziabilità.
Mi potreste illustrare precisamente i vari passaggi da fare? (non nell'esempio dato, ma in generale)
Altra domanda: mi sapete dire come si fa precisamente (mediante l'utilizzo della matrice hessiana) a stabilire se un punto è di massimo, minimo o di sella? Grazie
P.s. io mi ero iscritto tempo fa col nick whedon, però mi sono scordato la password. se non è consentito tenere due nick, vi prego di cancellare quello vecchio. grazie
Risposte
Una funzione è continua nel punto (x0,y0) se:
lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = f(x0,y0)
Per vedere se le derivate parzali esistono te le devi calcolare come limit del rapporto incrementale
invece è differenziabile nel punto (x0,y0) se:
lim (h,k)->(0,0) (f((x0,y0)+(h,k))-f(x0,y0)-grad(f(x0,y0))scalar(h,k))/sqrt(h^2 + k^2) = 0
Per quanto riguarda i punti critici:
ti costruisci la matrice hessiana, calcolata nel punto considerato, e ti calcoli gli autovalori.
Se tutti gli autovalori sono positivi, allora il punto considerato è un minimo relativo, se tutti gli autovalori sono negativi, allora il punto consideto è un massimo relativo, se alcuni autovalori sono positivi e altri negativi, allora è un punto di sella, se invece ALMENO UN AUTOVALORE È ZERO con la matrice hessiana non puoi farci niente e devi ricorrere alla definizione di massimo o minimo risolvendo la disequzione:
f(x0, y0)>f(x,y)
se questa disequzione è sempre soddisfatta allora il punto (x0,y0) è un massimo, se non è mai soddisfatta è un minimo, altrimenti una sella
lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = f(x0,y0)
Per vedere se le derivate parzali esistono te le devi calcolare come limit del rapporto incrementale
invece è differenziabile nel punto (x0,y0) se:
lim (h,k)->(0,0) (f((x0,y0)+(h,k))-f(x0,y0)-grad(f(x0,y0))scalar(h,k))/sqrt(h^2 + k^2) = 0
Per quanto riguarda i punti critici:
ti costruisci la matrice hessiana, calcolata nel punto considerato, e ti calcoli gli autovalori.
Se tutti gli autovalori sono positivi, allora il punto considerato è un minimo relativo, se tutti gli autovalori sono negativi, allora il punto consideto è un massimo relativo, se alcuni autovalori sono positivi e altri negativi, allora è un punto di sella, se invece ALMENO UN AUTOVALORE È ZERO con la matrice hessiana non puoi farci niente e devi ricorrere alla definizione di massimo o minimo risolvendo la disequzione:
f(x0, y0)>f(x,y)
se questa disequzione è sempre soddisfatta allora il punto (x0,y0) è un massimo, se non è mai soddisfatta è un minimo, altrimenti una sella
grazie Tipper!
so che per stabilire max e min con l'hessiana si puo' evitare di calcolare gli autovalori: basta stabilire se la matrice sia definita positiva (min), negativa (max), o indefinita (sella).
ma come si fa a stabilire velocemente se una matrice sia definita positiva, negativa o indefinita senza stare a calcolare gli autovalori?
so che per stabilire max e min con l'hessiana si puo' evitare di calcolare gli autovalori: basta stabilire se la matrice sia definita positiva (min), negativa (max), o indefinita (sella).
ma come si fa a stabilire velocemente se una matrice sia definita positiva, negativa o indefinita senza stare a calcolare gli autovalori?
Con la regola di cartesio.
Se un polinomio di grado n-esimo è completo, cioè ha tutti i termini di grado n-1, n-2, n-3, fino a 1 e il termine noto, allora ad ogni variazione di segno corrisponde una soluzione positiva, ad ogni permanenenza una soluzione negativa.
Mi spiehgo meglio, il polinomio x^4-5x^3-7x^2+x-10=0 è innanzitutto completo, x=0 non è soluzione perché c'è il termine noto, inoltre ci sono 3 variazioni e 1 permanenza, cioè il polinomio ha 3 soluzioni positive e una negativa.
Se invece un polinomio non è completo, cioè se non ha tutti i termini da grado massimo al minimo, ad esempio x^5+x^3+x^2-1=0 non è completo, perché manca il termine con x^4 e con x, in questo caso il polinomio ammette sicuramente una soluzione positiva e una negativa.
Se un polinomio di grado n-esimo è completo, cioè ha tutti i termini di grado n-1, n-2, n-3, fino a 1 e il termine noto, allora ad ogni variazione di segno corrisponde una soluzione positiva, ad ogni permanenenza una soluzione negativa.
Mi spiehgo meglio, il polinomio x^4-5x^3-7x^2+x-10=0 è innanzitutto completo, x=0 non è soluzione perché c'è il termine noto, inoltre ci sono 3 variazioni e 1 permanenza, cioè il polinomio ha 3 soluzioni positive e una negativa.
Se invece un polinomio non è completo, cioè se non ha tutti i termini da grado massimo al minimo, ad esempio x^5+x^3+x^2-1=0 non è completo, perché manca il termine con x^4 e con x, in questo caso il polinomio ammette sicuramente una soluzione positiva e una negativa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo