Studio di funzione
Si consideri la funzione:
$f(x)=x^2/(1-3x-x|x|)$
Si chiede di
a) determinarne il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti;
b) determinarne gli intervalli di monotonia, i punti di non derivabilta e gli eventuali estremi;
c) determinare il numero di soluzioni dell'equazione f (x) = 1;( In realtà mi è partito un segno meno nel copia incolla quindi bisogna risolvere $f(x)=-1$
d) determinare l'immagine della funzione;
e) tracciare un gra co qualitativo di f .
Per ora mi occupo del punto a) quindi tralasciamo tutto il resto:
Scrivo $f(x)$ come:
$f(x)={(x^2/(1-3x-x^2),if x>=0),(x^2/(1-3x+x^2),if x<0):}$
Ora studio il dominio delle 2 funzioni nei relativi intervalli di validità quindi impongo $1-3x-x^2!=0$ da cui ottengo $x!=(-3+sqrt(13))/2$ perché è valida solo per $x>=0$, mentre l'equazione $1-3x+x^2=0$ non ha soluzioni negative. Quindi il dominio di f è tutto $RR$ eccetto il punto $x_0=(-3+sqrt(13))/2$
Ora calcolo i limiti:
$lim_(x->+infty) x^2/(1-3x-x^2)=-1$ mentre $lim_(x->-infty) x^2/(1-3x+x^2)=1$
Trovo problemi nel calcolare il $lim_(x->x_0) f(x)$..
Potete suggerirmi qualche idea da usare in situazioni di questo tipo, dove $x_0=(-3+sqrt(13))/2$?
$f(x)=x^2/(1-3x-x|x|)$
Si chiede di
a) determinarne il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti;
b) determinarne gli intervalli di monotonia, i punti di non derivabilta e gli eventuali estremi;
c) determinare il numero di soluzioni dell'equazione f (x) = 1;( In realtà mi è partito un segno meno nel copia incolla quindi bisogna risolvere $f(x)=-1$
d) determinare l'immagine della funzione;
e) tracciare un gra co qualitativo di f .
Per ora mi occupo del punto a) quindi tralasciamo tutto il resto:
Scrivo $f(x)$ come:
$f(x)={(x^2/(1-3x-x^2),if x>=0),(x^2/(1-3x+x^2),if x<0):}$
Ora studio il dominio delle 2 funzioni nei relativi intervalli di validità quindi impongo $1-3x-x^2!=0$ da cui ottengo $x!=(-3+sqrt(13))/2$ perché è valida solo per $x>=0$, mentre l'equazione $1-3x+x^2=0$ non ha soluzioni negative. Quindi il dominio di f è tutto $RR$ eccetto il punto $x_0=(-3+sqrt(13))/2$
Ora calcolo i limiti:
$lim_(x->+infty) x^2/(1-3x-x^2)=-1$ mentre $lim_(x->-infty) x^2/(1-3x+x^2)=1$
Trovo problemi nel calcolare il $lim_(x->x_0) f(x)$..
Potete suggerirmi qualche idea da usare in situazioni di questo tipo, dove $x_0=(-3+sqrt(13))/2$?
Risposte
Ciao Obidream,
un intero studio di funzione... ti seguirò molto volentieri!
Per cominciare non mi è chiaro un passaggio
non dovrebbe essere$(+3+sqrt13)/2$?
un intero studio di funzione... ti seguirò molto volentieri!
Per cominciare non mi è chiaro un passaggio
"Obidream":
Ora studio il dominio delle 2 funzioni nei relativi intervalli di validità quindi impongo $1-3x-x^2!=0$ da cui ottengo $x!=(-3+sqrt(13))/2$
non dovrebbe essere$(+3+sqrt13)/2$?
nono cambio di segno a tutta l'equazione e mi viene $x^2+3x-1$ 
Sono io che non capisco: se cambi di segno a tutta l'equazione gli zeri non dovrebbero cambiare... e invece... mi sembra che ci sia differenza!
Non capisco davvero!
Non capisco davvero!
la formula come ben sai è: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
quindi se la mia equazione è $1-3x-x^2=0$
$x=(3+-sqrt(9-4(-1)))/-2$ quindi $x=(3+-sqrt(13))/-2$
Se usi un programma tipo geogebra e provi a rappresentarti le soluzioni e le due equazioni vedrai che gli zeri rimangono gli stessi
quindi se la mia equazione è $1-3x-x^2=0$
$x=(3+-sqrt(9-4(-1)))/-2$ quindi $x=(3+-sqrt(13))/-2$
Se usi un programma tipo geogebra e provi a rappresentarti le soluzioni e le due equazioni vedrai che gli zeri rimangono gli stessi
"Obidream":
Trovo problemi nel calcolare il $lim_(x->x_0) f(x)$..
Potete suggerirmi qualche idea da usare in situazioni di questo tipo, dove $x_0=(-3+sqrt(13))/2$?
Ad ogni modo posto che $x_0$ sia uno zero del polinomio al denominatore vediamo cosa succede:
al numeratore abbiamo $x^2$ di conseguenza se sostituiamo $x_0$ otteniamo un valore finito e positivo, invece al denominatore otterremo un numero piccolissimo, di conseguenza il limite sarà $oo$, domandiamoci se positivo o negativo, se arriviamo da sinistra il numeratore è positivo e il denominatore (secondo la mia interpretazione precedente) negativo, di conseguenza avrò $-oo$, se arrivo da destra il numero piccolissimo al denominatore positivo, di conseguenza il limite sarà $+oo$.
Direi che siamo di fronte ad una discontinuità ineliminabile, tu che ne dici?
Corretto , se $x>=0 ; y=-x^2/(x^2+3x-1)$.
Per calcolare il $lim_(x rarr (-3+sqrt(13))/2) y $ è ovvio che si otterrà $oo $ in quanto si annulla il denominatore.
Resta da decidere il segno di $oo $ ricordando che il numeratore è negativo.
Chiamo $ alpha $ la radice sopra indicata e pongo $ beta = (-3-sqrt(13)/2) $ ; quindi fattorizzo $x^2+3x-1=(x-alpha )(x-beta)= (x-(-3+sqrt(13))/2)(x-(-3-sqrt(13))/2) $ .
Quando $ x rarr alpha ^(+) $ il primo fattore è $>0 $ , il secondo è $>0 $ , il prodotto è $>0 $ . ma il numeratore è negativo e quindi il limite $rarr -oo $; quando $x rarr alpha^(-) $ il limite sarà $+oo $.
Per calcolare il $lim_(x rarr (-3+sqrt(13))/2) y $ è ovvio che si otterrà $oo $ in quanto si annulla il denominatore.
Resta da decidere il segno di $oo $ ricordando che il numeratore è negativo.
Chiamo $ alpha $ la radice sopra indicata e pongo $ beta = (-3-sqrt(13)/2) $ ; quindi fattorizzo $x^2+3x-1=(x-alpha )(x-beta)= (x-(-3+sqrt(13))/2)(x-(-3-sqrt(13))/2) $ .
Quando $ x rarr alpha ^(+) $ il primo fattore è $>0 $ , il secondo è $>0 $ , il prodotto è $>0 $ . ma il numeratore è negativo e quindi il limite $rarr -oo $; quando $x rarr alpha^(-) $ il limite sarà $+oo $.
Grazie a tutti, mi sento molto sciocco a non aver pensato a questa soluzione..
in effetti avrei potuto anche calcolare il segno della funzione per stabilire il segno del $infty$, anche se non è richiesto nella traccia?
Gio sarebbe più corretto dire che in questo caso abbiamo un'asintoto verticale di equazione $x=x_0$ dove $x_0$ è quella schifezza di prima
in effetti avrei potuto anche calcolare il segno della funzione per stabilire il segno del $infty$, anche se non è richiesto nella traccia?Gio sarebbe più corretto dire che in questo caso abbiamo un'asintoto verticale di equazione $x=x_0$ dove $x_0$ è quella schifezza di prima
"Obidream":
la formula come ben sai è: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
quindi se la mia equazione è $1-3x-x^2=0$
$x=(3+-sqrt(9-4(-1)))/-2$ quindi $x=(3+-sqrt(13))/-2$
Se usi un programma tipo geogebra e provi a rappresentarti le soluzioni e le due equazioni vedrai che gli zeri rimangono gli stessi
grazie obidream!
Mi ero proprio persa un meno!
Non ho idea di come si usino i programmi per disegnare le funzioni, mi traccio i grafici a mano e buonanotte.
Allora ad ogni modo non cambierei la concavità della nostra parabola che è rivolta verso il basso (il coefficiente di $x^2$ è negativo) a noi interessano sì gli zeri ma anche se il segno del denominatore cambia se arriviamo da destra o da sinistra, giusto?
"gio73":
[quote="Obidream"]la formula come ben sai è: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
quindi se la mia equazione è $1-3x-x^2=0$
$x=(3+-sqrt(9-4(-1)))/-2$ quindi $x=(3+-sqrt(13))/-2$
Se usi un programma tipo geogebra e provi a rappresentarti le soluzioni e le due equazioni vedrai che gli zeri rimangono gli stessi
grazie obidream!
Mi ero proprio persa un meno!
Non ho idea di come si usino i programmi per disegnare le funzioni, mi traccio i grafici a mano e buonanotte.
Allora ad ogni modo non cambierei la concavità della nostra parabola che è rivolta verso il basso (il coefficiente di $x^2$ è negativo) a noi interessano sì gli zeri ma anche se il segno del denominatore cambia se arriviamo da destra o da sinistra, giusto?[/quote]
Ti interessa trovare gli zeri del denominatore che poi escluderai dal dominio della funzione, in quanto il denominatore deve essere $!=0$.. Io cambio di segno all'equazione (moltiplico tutto per -1) perché è un'operazione che non mi cambia le soluzioni e perché trovo decisamente più comodo lavorare con il coefficiente del termine di secondo grado positivo
D'accordo.
Vediamo a che punto siamo arrivati anche grazie al provvidenziale intervento di Camillo.
Abbiamo risolto l'aspetto relativo al valore assoluto, esprimendo la nostra funzione con due scritture differenti a seconda del segno di x.
Abbiamo trovato che la funzione non è definita in un punto $x_0=(-3+sqrt3)/2$
abbiamo fatto il limite destro ($-oo$) e sinistro ($+oo$)e abbiamo trovato un asisntoto verticale.
Mi sembra però che per il primo punto si debba ancora dire qualcosa circa gli asintoti orizzontali, quando hai fatto i limiti per $+oo$ e $-oo$ infatti hai trovato che i limiti fossero finiti, di conseguenza abbiamo due asintoti orizzontali:
$y=-1$ quando$ x->+oo$, e $y=1$ quando $x->-oo$, sarebbe interessante vedere come la funzione si avvicina a queste rette, se da valori maggiori (da sopra per internderci) o da valori minori (da sotto), che ne dici?
Vediamo a che punto siamo arrivati anche grazie al provvidenziale intervento di Camillo.
Abbiamo risolto l'aspetto relativo al valore assoluto, esprimendo la nostra funzione con due scritture differenti a seconda del segno di x.
Abbiamo trovato che la funzione non è definita in un punto $x_0=(-3+sqrt3)/2$
abbiamo fatto il limite destro ($-oo$) e sinistro ($+oo$)e abbiamo trovato un asisntoto verticale.
Mi sembra però che per il primo punto si debba ancora dire qualcosa circa gli asintoti orizzontali, quando hai fatto i limiti per $+oo$ e $-oo$ infatti hai trovato che i limiti fossero finiti, di conseguenza abbiamo due asintoti orizzontali:
$y=-1$ quando$ x->+oo$, e $y=1$ quando $x->-oo$, sarebbe interessante vedere come la funzione si avvicina a queste rette, se da valori maggiori (da sopra per internderci) o da valori minori (da sotto), che ne dici?
Il grafico è l'ultimo punto, se ti interessa puoi provare a svolgere la derivata per rispondere al punto b) e poi eventualmente provi a metterla qui
Ciao obidream,
alla fine ho fatto tutto lo studio di funzione allo scopo di tracciare un grafico qualitativo (mi mancherebbe di individuare un flesso, ma con la derivata seconda mi si complica talmente la vita che ho deciso di rinunciare), con il grafico davanti si risponde molto facilmente alle domande.
Se vuoi ci confrontiamo.
alla fine ho fatto tutto lo studio di funzione allo scopo di tracciare un grafico qualitativo (mi mancherebbe di individuare un flesso, ma con la derivata seconda mi si complica talmente la vita che ho deciso di rinunciare), con il grafico davanti si risponde molto facilmente alle domande.
Se vuoi ci confrontiamo.
I flessi non sono richiesti tieni presente che se ad un compito in cui non si chiede di calcolare i punti di flesso, ma io lo faccio comunque questo mi viene valutato e se sbaglio perdo punti e tolgo tempo anche ad altri esercizi domani posto il tutto cosi ci si confronta
tieni presente che se ad un compito in cui non si chiede di calcolare i punti di flesso, ma io lo faccio comunque questo mi viene valutato e se sbaglio perdo punti e tolgo tempo anche ad altri esercizi domani posto il tutto cosi ci si confronta
Ciao Obidream!
Sono pronta, comincio a rispondere alla domanda c)
la funzione incontra solo una volta la retta y=1, in corrispondenza di una x compresa tra 0 e $(-3+sqrt3)/2$
ti torna?
Sono pronta, comincio a rispondere alla domanda c)
la funzione incontra solo una volta la retta y=1, in corrispondenza di una x compresa tra 0 e $(-3+sqrt3)/2$
ti torna?
Qualcosa non mi torna
Noi dobbiamo risolvere $f(x)=-1$, quindi significa che abbiamo la seguente equazione:
$(x^2)/(1-3x-x|x|)=-1$
Possiamo riscrivere quest'equazione senza il valore assoluto in questo modo:
${(x^2/(1-3x-x^2)=-1,if x>=0),(x^2/(1-3x+x^2)=-1,if x<0):}$
Quindi abbiamo 2 casi che per comodità chiamo A) e B):
A)$x^2/(1-3x-x^2)=-1$
$x^2=-1+3x+x^2$
$x=1/3$
Questa soluzione rispetta l'intervallo di validità che è $[0,+infty)$ ( deriva da $x>=0$) quindi è accettabile.
B)$x^2/(1-3x+x^2)=-1$
$x^2=-1+3x-x^2$
$2x^2-3x+1=0$
Si ricava che le soluzioni di quest'equazione sono $x=1$ ed $x=1/2$ che però non rispettano l'intervallo di validità $(-infty;0)$ e quindi non sono accettabili.
Quindi ricapitolando l'unica soluzione valida è $x=1/3$
Noi dobbiamo risolvere $f(x)=-1$, quindi significa che abbiamo la seguente equazione:
$(x^2)/(1-3x-x|x|)=-1$
Possiamo riscrivere quest'equazione senza il valore assoluto in questo modo:
${(x^2/(1-3x-x^2)=-1,if x>=0),(x^2/(1-3x+x^2)=-1,if x<0):}$
Quindi abbiamo 2 casi che per comodità chiamo A) e B):
A)$x^2/(1-3x-x^2)=-1$
$x^2=-1+3x+x^2$
$x=1/3$
Questa soluzione rispetta l'intervallo di validità che è $[0,+infty)$ ( deriva da $x>=0$) quindi è accettabile.
B)$x^2/(1-3x+x^2)=-1$
$x^2=-1+3x-x^2$
$2x^2-3x+1=0$
Si ricava che le soluzioni di quest'equazione sono $x=1$ ed $x=1/2$ che però non rispettano l'intervallo di validità $(-infty;0)$ e quindi non sono accettabili.
Quindi ricapitolando l'unica soluzione valida è $x=1/3$
"Obidream":
Si consideri la funzione:
$f(x)=x^2/(1-3x-x|x|)$
Si chiede di
a) determinarne il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti;
b) determinarne gli intervalli di monotonia, i punti di non derivabilta e gli eventuali estremi;
c) determinare il numero di soluzioni dell'equazione f (x) = 1;
Mi sembrava che la lettera c) chiedesse quante sono le intersezioni con la retta y=1...
se invece bisogna cercare l'intersezione con y=-1, sono d'accordo con te.
Ho sbagliato a ricopiare 
Scusami in realtà è $f(x)=-1$
http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... svolti.pdf
L'esercizio 6 di questo pdf
Scusami in realtà è $f(x)=-1$http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... svolti.pdf
L'esercizio 6 di questo pdf
Ciao obidream,
ho visto l'esercizio che è già risolto ed ho trovato alcune inesattezze nei miei ragionamenti, ad esempio pensavo che x=0 fosse un punto angoloso e invece mi sbagliavo (ho imparato che non devo trarre conclusioni affrettate ma controllare sempre, in questo caso fare la derivata destra e sinistra), ma non saprei come esserti d'aiuto, le indicazioni le hai tutte.
Se vuoi ti seguo con un altro studio di funzione, ma se hai gli esercizi svolti non hai bisigno di me: basta fare l'esercizio e poi confrontarlo con la soluzione
ho visto l'esercizio che è già risolto ed ho trovato alcune inesattezze nei miei ragionamenti, ad esempio pensavo che x=0 fosse un punto angoloso e invece mi sbagliavo (ho imparato che non devo trarre conclusioni affrettate ma controllare sempre, in questo caso fare la derivata destra e sinistra), ma non saprei come esserti d'aiuto, le indicazioni le hai tutte.
Se vuoi ti seguo con un altro studio di funzione, ma se hai gli esercizi svolti non hai bisigno di me: basta fare l'esercizio e poi confrontarlo con la soluzione
Il mio dubbio era solo sul limite per $x->x_0$ il resto tornava tutto in qualche topic fa si era parlato di come stabilire se una funzione è derivabile o no in un punto, se ti interessa puoi cercare indietro
in qualche topic fa si era parlato di come stabilire se una funzione è derivabile o no in un punto, se ti interessa puoi cercare indietro
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