Studio di funzione
Ciao, sto avendo difficoltà(direi non poche 
) con lo studio di questa funzione f(x)= $ |x|*(log (|x|)-1)^(2) $
Sono riuscito solamente a capire che:
- D:$ RR -{ 0 } $
- la funzione è pari f(x)=f(-x), quindi il grafico è simmetrico rispetto all'asse y
- $ lim_(x -> \pm oo ) f(x)=+oo $ e $ lim_(x -> 0 ) f(x)=+oo $ (giusto?)
- $ f(x) > 0 $ per ogni $ x in D $
-dato che $ |x|= sgn(x)*x $ . ho provato a calcolare la derivata prima $ D(|x| * (log (|x|)-1)^(2)) $
$ =D(|x|) * (log (|x|)-1)^(2)+ |x|*D((log (|x|)-1)^(2)) $
$ =(sgn(x)) * (log (|x|)-1)^(2)+ |x|*2(log (|x|)-1)*(1 / |x| ) $
$ =(sgn(x)) * (log (|x|)-1)^(2)+ 2(log (|x|)-1) $
Dopodiché non riesco più ad andare avanti, insomma, come vedete, sono messo abbastanza male...potreste indicarmi come andare avanti e quali errori ho fatto?
Grazie
) con lo studio di questa funzione f(x)= $ |x|*(log (|x|)-1)^(2) $ Sono riuscito solamente a capire che:
- D:$ RR -{ 0 } $
- la funzione è pari f(x)=f(-x), quindi il grafico è simmetrico rispetto all'asse y
- $ lim_(x -> \pm oo ) f(x)=+oo $ e $ lim_(x -> 0 ) f(x)=+oo $ (giusto?)
- $ f(x) > 0 $ per ogni $ x in D $
-dato che $ |x|= sgn(x)*x $ . ho provato a calcolare la derivata prima $ D(|x| * (log (|x|)-1)^(2)) $
$ =D(|x|) * (log (|x|)-1)^(2)+ |x|*D((log (|x|)-1)^(2)) $
$ =(sgn(x)) * (log (|x|)-1)^(2)+ |x|*2(log (|x|)-1)*(1 / |x| ) $
$ =(sgn(x)) * (log (|x|)-1)^(2)+ 2(log (|x|)-1) $
Dopodiché non riesco più ad andare avanti, insomma, come vedete, sono messo abbastanza male...potreste indicarmi come andare avanti e quali errori ho fatto?
Grazie
Risposte
Visto che la funzione è pari, perché non la studi soltanto per $x>0$ e poi deduci facilmente cosa succede per $x>0$?
Approfitta del fatto che la funzione è pari e studia solo , per $x>0 $ la funzione $f_1(x)=x*(ln x -1 )^2 $, poi potrai "ribaltarla" attorno all'asse y.
Il limite per $x rarr 0 $ è $0$ e non $oo$.
Inoltre la funzione si annulla per $x= e $ e naturalemnte per $x =-e$.
Il limite per $x rarr 0 $ è $0$ e non $oo$.
Inoltre la funzione si annulla per $x= e $ e naturalemnte per $x =-e$.
Grazie, ora è tutto più semplice...
Camillo, perdonami, intendevo log in base 10, quindi in questo caso la funzione si annulla per $ x=10 ^^ x=-10 $ , giusto?
Questo perché la funzione logaritmo tende meno rapidamente all'infinito rispetto a $ y=x $ ?
La derivata prima dovrebbe essere questa:
$ D(x(log_10(x)-1)^2) $
usando la formula del cambiamento di base ottengo $ log_10(x)=(ln(x))/(ln(10)) $
quindi $ D(x)*((ln(x))/(ln(10))-1)^(2)+x*D(((ln(x))/(ln(10))-1)^(2)) $
$ =((ln(x))/(ln(10))-1)^(2)+ 2x*((ln(x))/(ln(10))-1)*(1/(x(ln(10)))) $
$ =((ln(x))/(ln(10))-1)^(2)+ 2x*((ln(x/10))/(xln^(2)(10))) $
$ =((ln^(2)(x/10))/(ln^(2)(10)))+ 2*((ln(x/10))/(ln^(2)(10))) $
$ =((ln^(2)(x/10)+2*(ln(x/10)))/(ln^(2)(10))) $
$ =((ln(x/10)*(ln(x/10)+2))/(ln^(2)(10))) $
Dopo ho studiato il segno della derivata prima $ (ln(x/10)*(ln(x/10)+2))/(ln^(2)(10)) geq 0 $
trovando un punto di massimo in $ x=(10)/(e^(2)) $ e un punto di minimo in $ x=10 $, e ribaltando i risultati nel semiasse negatico delle ascisse trovo un altro punto di minimo in $ x=-10 $ e un punto di massimo in
$ x=(-10)/(e^(2)) $
Sostituendo i 4 valori di x nella funzione f(x) trovo che per $ x=10 $ e per $ x=-10 $ la funzione vale 0, mentre per
$ x=(10)/(e^(2)) $ e $ x=(-10)/(e^(2)) $ la funzione vale all'incirca 1,02...
"Camillo":
Inoltre la funzione si annulla per $x= e $ e naturalemnte per $x =-e$.
Camillo, perdonami, intendevo log in base 10, quindi in questo caso la funzione si annulla per $ x=10 ^^ x=-10 $ , giusto?
"Camillo":
Il limite per x→0 è 0 e non ∞
Questo perché la funzione logaritmo tende meno rapidamente all'infinito rispetto a $ y=x $ ?
La derivata prima dovrebbe essere questa:
$ D(x(log_10(x)-1)^2) $
usando la formula del cambiamento di base ottengo $ log_10(x)=(ln(x))/(ln(10)) $
quindi $ D(x)*((ln(x))/(ln(10))-1)^(2)+x*D(((ln(x))/(ln(10))-1)^(2)) $
$ =((ln(x))/(ln(10))-1)^(2)+ 2x*((ln(x))/(ln(10))-1)*(1/(x(ln(10)))) $
$ =((ln(x))/(ln(10))-1)^(2)+ 2x*((ln(x/10))/(xln^(2)(10))) $
$ =((ln^(2)(x/10))/(ln^(2)(10)))+ 2*((ln(x/10))/(ln^(2)(10))) $
$ =((ln^(2)(x/10)+2*(ln(x/10)))/(ln^(2)(10))) $
$ =((ln(x/10)*(ln(x/10)+2))/(ln^(2)(10))) $
Dopo ho studiato il segno della derivata prima $ (ln(x/10)*(ln(x/10)+2))/(ln^(2)(10)) geq 0 $
trovando un punto di massimo in $ x=(10)/(e^(2)) $ e un punto di minimo in $ x=10 $, e ribaltando i risultati nel semiasse negatico delle ascisse trovo un altro punto di minimo in $ x=-10 $ e un punto di massimo in
$ x=(-10)/(e^(2)) $
Sostituendo i 4 valori di x nella funzione f(x) trovo che per $ x=10 $ e per $ x=-10 $ la funzione vale 0, mentre per
$ x=(10)/(e^(2)) $ e $ x=(-10)/(e^(2)) $ la funzione vale all'incirca 1,02...
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