Studio di funzione:
\(\displaystyle |x+2| - log(1 - \frac{4}{x}) \)
Iniziamo con il dominio \(\displaystyle x>4 ? \)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=|x%2B2|+-+log%281+-+4%2Fx%29
Tuttavia il grafico sembra dire altro...
Iniziamo con il dominio \(\displaystyle x>4 ? \)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=|x%2B2|+-+log%281+-+4%2Fx%29
Tuttavia il grafico sembra dire altro...
Risposte
$1 - 4/x > 0$ $Rightarrow$ $(x - 4)/x > 0$
Mi sa che hai sbagliato... Infatti credo tu abbia fatto $1 - 4/x > 0$ da cui $ 1 > 4/x $ da cui ancora $x > 4/x * x = 4$.
Ovviamente non puoi, in una disequazione come questa, moltiplicare per $x$ senza distinguere il caso in cui $x > 0$ dal caso in cui $x < 0$...
Ovviamente non puoi, in una disequazione come questa, moltiplicare per $x$ senza distinguere il caso in cui $x > 0$ dal caso in cui $x < 0$...
Seneca se non ci fossi tu... 
Possiamo quindi dire che \(\displaystyle D = x<0 \) \(\displaystyle \cup \) \(\displaystyle x>4 \)
Per quanto riguarda il modulo si può dire che si annulla in \(\displaystyle -2 \) quindi per \(\displaystyle x> -2 \) l'argomento del modulo sarà positivo, mentre sarà negativo per \(\displaystyle x< -2 \). Giusto?
Possiamo quindi dire che \(\displaystyle D = x<0 \) \(\displaystyle \cup \) \(\displaystyle x>4 \)
Per quanto riguarda il modulo si può dire che si annulla in \(\displaystyle -2 \) quindi per \(\displaystyle x> -2 \) l'argomento del modulo sarà positivo, mentre sarà negativo per \(\displaystyle x< -2 \). Giusto?
Sì... Quindi distingui i due casi.
Se $x < - 2$ allora $f(x) = - ( x + 2 ) - log( 1 - 4/x )$ ,
mentre se $x >= -2$ hai che $f(x) = x + 2 - log( 1 - 4/x )$.
Se $x < - 2$ allora $f(x) = - ( x + 2 ) - log( 1 - 4/x )$ ,
mentre se $x >= -2$ hai che $f(x) = x + 2 - log( 1 - 4/x )$.
Ora cerco gli eventuali asintoti orizzontali:
\(\displaystyle x \rightarrow \infty \)
\(\displaystyle (x+2) - log (1 - \frac{4}{x} ) = \infty - 0 = + \infty ? \)
\(\displaystyle x \rightarrow - \infty \)
\(\displaystyle -x -2 - log (1 - \frac{4}{x} ) = \infty - 0 = + \infty ? \)
è giusto distinguere \(\displaystyle f(x) \) in questo modo?
Serve fare \(\displaystyle x \rightarrow 4^+ \)
\(\displaystyle (x+2) - log (1 - \frac{4}{x} ) = \displaystyle 6 - ( - \infty) = + \infty ? \)
Si devono anche vedere i casi in cui \(\displaystyle x \rightarrow- 2^+ \) e \(\displaystyle x \rightarrow- 2^- \)
\(\displaystyle x \rightarrow \infty \)
\(\displaystyle (x+2) - log (1 - \frac{4}{x} ) = \infty - 0 = + \infty ? \)
\(\displaystyle x \rightarrow - \infty \)
\(\displaystyle -x -2 - log (1 - \frac{4}{x} ) = \infty - 0 = + \infty ? \)
è giusto distinguere \(\displaystyle f(x) \) in questo modo?
Serve fare \(\displaystyle x \rightarrow 4^+ \)
\(\displaystyle (x+2) - log (1 - \frac{4}{x} ) = \displaystyle 6 - ( - \infty) = + \infty ? \)
Si devono anche vedere i casi in cui \(\displaystyle x \rightarrow- 2^+ \) e \(\displaystyle x \rightarrow- 2^- \)
Ricordando di fare attenzione al fatto che il simbolo $oo$ non si può addizionare come un numero qualsiasi, direi che va tutto bene.
Comunque sia sono stato impreciso definendo $f$ così... Mi sono dimenticato del campo di esistenza del logaritmo.
Per rispondere all'ultima (suppongo) domanda: $2$ non è un punto di accumulazione di punti del dominio della funzione... Perché vuoi calcolare il limite per $x -> 2$?
Comunque sia sono stato impreciso definendo $f$ così... Mi sono dimenticato del campo di esistenza del logaritmo.
Per rispondere all'ultima (suppongo) domanda: $2$ non è un punto di accumulazione di punti del dominio della funzione... Perché vuoi calcolare il limite per $x -> 2$?
eh scusami l'ho corretto subito era \(\displaystyle -2 \). Si era una domanda 
\(\displaystyle -2 \) non è un punto di discontinuità giusto? Però alla sua destra \(\displaystyle f \) è "diversa" da quella alla sua sinistra, quindi come faccio a dire come \(\displaystyle f \) si comporta? Come ho scritto nella domanda "corretta"?
\(\displaystyle -2 \) non è un punto di discontinuità giusto? Però alla sua destra \(\displaystyle f \) è "diversa" da quella alla sua sinistra, quindi come faccio a dire come \(\displaystyle f \) si comporta? Come ho scritto nella domanda "corretta"?
Cosa significa "come si comporta"? Per prima cosa direi che dovresti verificare se è continua nel punto $-2$, quindi che $ lim_(x -> -2^+) f(x)$ e $lim_(x -> -2^-) f(x)$ esistono e coincidono (in quel punto la funzione è continua, tuttavia avrai problemi con la derivabilità...).
Quindi devo comunque trovare la derivata di:
\(\displaystyle (x+2) - log(1 - \frac{4}{x}) \) se \(\displaystyle x > -2 \) e
\(\displaystyle -(x+2) - log(1 - \frac{4}{x}) \) se \(\displaystyle x < -2 \) e vedere se \(\displaystyle -2 \)
è un punto angoloso ecc ecc?
\(\displaystyle (x+2) - log(1 - \frac{4}{x}) \) se \(\displaystyle x > -2 \) e
\(\displaystyle -(x+2) - log(1 - \frac{4}{x}) \) se \(\displaystyle x < -2 \) e vedere se \(\displaystyle -2 \)
è un punto angoloso ecc ecc?
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