Studio di funzione

[lucavb]

Buongiorno a tutti!

devo studiare questa funzione $(1+sqrt(|x+1|))/(1+sqrt(x^2-3x+2))$

se non sbaglio dovrebbe esistere per valori esterni ad $1$ e $2$

ma la domanda è: la derivata che si ottiene da $(d/(dx)(1+sqrt(|x+1|))(1+sqrt(x^2-3x+2))-(1+sqrt(|x+1|))d/(dx)(1+sqrt(x^2-3x+2)))/(1+sqrt(x^2-3x+2))^2$ diventa una cosa parecchio "ingombrante" da gestire poi per il calcolo del segno, non è possibile semplificare la funzione prima di tutto? c'è qualcosa che ho sbagliato?

senza parlare della derivata seconda...

Mille grazie.

[ciampax]

Potresti osservare che la tua funzione si scrive come

[tex]$f(x)=\frac{1+\sqrt{g(x)}}{1+\sqrt{h(x)}}$[/tex]

per cui

[tex]$f'(x)=\frac{\displaystyle\frac{g'}{2\sqrt{g}}(1+\sqrt{h})-(1+\sqrt{g})\frac{h'}{2\sqrt{h}}}{(1+\sqrt{h})^2}=
\frac{g'\sqrt{h}(1+\sqrt{h})-h' g(1+\sqrt{g})}{2\sqrt{gh}(1+\sqrt{h})^2}$[/tex]

per cui per studiare il segno "basta" studiare la disequazione

[tex]$g'\sqrt{h}(1+\sqrt{h})-h' g(1+\sqrt{g})\ge 0$[/tex]

Oltre questo non mi pare che tu possa semplificare ulteriormente.

[lucavb]

"ciampax":

per cui per studiare il segno "basta" studiare la disequazione

[tex]$g'\sqrt{h}(1+\sqrt{h})-h' g(1+\sqrt{g})\ge 0$[/tex]

Oltre questo non mi pare che tu possa semplificare ulteriormente.

perchè il denominatore è sempre positivo giusto..!?

[ciampax]

Esatto: è il prodotto di un quadrato (tra l'altro con base sempre positiva) e di una radice quadrata che, sul dominio, risulta anch'essa sempre positivia. Ovviamente devi escludere dal calcolo della monotonia i punti in cui si annullano le funzioni $g,\ h$, in cui non hai derivabilità.