Studio di Funzione
Salve a tutti, mi sono letteralmente impantanata in questo esercizio, ho provato in ogni modo ma niente!
Più del primo punto mi interesserebbe il secondo, grazie in anticipo!
Sia f la funzione di variabile reale definita da:
$ f(x)= root(3)(x) + sqrt(|x|) $
1) studiarne l'andamento (dominio, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, derivate prime e seconde) e tracciarne un grafico qualitativo.
2) sia g una funzione a variabile reale definita come :
$ g(t):= "inf"{f(x): x >= t} $
Stabilire dove g è derivabile e tracciarne un grafico qualitativo
Più del primo punto mi interesserebbe il secondo, grazie in anticipo!
Sia f la funzione di variabile reale definita da:
$ f(x)= root(3)(x) + sqrt(|x|) $
1) studiarne l'andamento (dominio, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, derivate prime e seconde) e tracciarne un grafico qualitativo.
2) sia g una funzione a variabile reale definita come :
$ g(t):= "inf"{f(x): x >= t} $
Stabilire dove g è derivabile e tracciarne un grafico qualitativo
Risposte
Benvenuta nel forum 
Cerca di postare un tuo tentativo (cosi come da regolamento). In ogni caso, se ho capito bene, hai problemi con i limiti quando x tende a $oo$ o sbaglio?
Cerca di postare un tuo tentativo (cosi come da regolamento). In ogni caso, se ho capito bene, hai problemi con i limiti quando x tende a $oo$ o sbaglio?
In realtà il problema è determinare in cosa consista la funzione g (t) e di miei tentavi sono ce ne sono perché, mi duole ammetterlo, non so nemmeno da dove cominciare!
guarda ti propongo un primo passo (correggetemi se sbaglio):
su un intervallo aperto $(a,b)$ in cui la funzione $f$ è continua, allora è continua anche la $g$.
vediamo perchè:
$lim_{h \to 0} |g(t+h) - g(t)| = lim_{h \to 0}| "inf"{f(x): x \geq t+h} - "inf"{f(x): x \geq t}| =$
$ = lim_{h \to 0}| "inf"{f(x): x-h \geq t} - "inf"{f(x): x \geq t}| = lim_{h \to 0}| "inf"{f(x-h): x \geq t} - "inf"{f(x): x \geq t}| =$
$ lim_{h \to 0}| "inf"{(f(x-h) - f(x)): x \geq t}| $
e questo ultimo limite è nullo proprio in virtù della continuità di f.
poi visto che conosci l'espressione della f, devi metterti dove ci sono le discontinuità e ragionarci un attimo: ad esempio se c'è un salto verso il basso, allora l'inf se lo mangia e quindi la $g$ è continua. e così via. prova a postare i ragionamenti che hai fatto e ti diamo una mano!
su un intervallo aperto $(a,b)$ in cui la funzione $f$ è continua, allora è continua anche la $g$.
vediamo perchè:
$lim_{h \to 0} |g(t+h) - g(t)| = lim_{h \to 0}| "inf"{f(x): x \geq t+h} - "inf"{f(x): x \geq t}| =$
$ = lim_{h \to 0}| "inf"{f(x): x-h \geq t} - "inf"{f(x): x \geq t}| = lim_{h \to 0}| "inf"{f(x-h): x \geq t} - "inf"{f(x): x \geq t}| =$
$ lim_{h \to 0}| "inf"{(f(x-h) - f(x)): x \geq t}| $
e questo ultimo limite è nullo proprio in virtù della continuità di f.
poi visto che conosci l'espressione della f, devi metterti dove ci sono le discontinuità e ragionarci un attimo: ad esempio se c'è un salto verso il basso, allora l'inf se lo mangia e quindi la $g$ è continua. e così via. prova a postare i ragionamenti che hai fatto e ti diamo una mano!
scusa non avevo fatto in tempo a leggere lo scambio di risposte, forse il mio aiuto correva un po' troppo in avanti.
provo a darti una mano più concreta:
la tua funzione $g$ funziona che tu ti fissi sul grafico della $f$ in un certo punto dell'asse x (questo è il tuo $t$) e vedi tutti i valori assunti dalla $f$ da quel punto in poi verso destra. così stai adempiendo alla condizione $x \geq t$. ora di tutti i valori assunti dalla f ne prendi l'estremo inferiore ( se non sai cosa sia un estremo inferiore chiedi ) e quello è il valore assunto dalla $g$ in quel punto.
provo a darti una mano più concreta:
la tua funzione $g$ funziona che tu ti fissi sul grafico della $f$ in un certo punto dell'asse x (questo è il tuo $t$) e vedi tutti i valori assunti dalla $f$ da quel punto in poi verso destra. così stai adempiendo alla condizione $x \geq t$. ora di tutti i valori assunti dalla f ne prendi l'estremo inferiore ( se non sai cosa sia un estremo inferiore chiedi
) e quello è il valore assunto dalla $g$ in quel punto.
Allora vediamo se all'incirca ho capito: devo cercare tutte le discontinuità di f e vedere come si comporta g in quei punti da lì capisco se è derivabile o meno?
Poi il problema è che non riesco a "visualizzare" g o solo a immaginarne l'andamento rispetto ad f.
Già con la tua spiegazione va meglio ma quindi g nel grafico assumerà in alcune parti sempre lo stesso valore, cioè ci saranno x per le quali l'inf di f(x) è sempre lo stesso, giusto?
Poi il problema è che non riesco a "visualizzare" g o solo a immaginarne l'andamento rispetto ad f.
Già con la tua spiegazione va meglio ma quindi g nel grafico assumerà in alcune parti sempre lo stesso valore, cioè ci saranno x per le quali l'inf di f(x) è sempre lo stesso, giusto?
ciao
scusami ma nel frattempo mi si è suicidato internet per un'oretta :S
quello che dici è giusto, e anzi oserei dire che:
1) sicuramente il grafico della $g$ non sta mai sopra a quello della $f$
2) in qualche parte i due grafici potrebbero coincidere. se la tua $f$ parte da un certo punto e non fa altro che crescere (esempio: $e^x$) allora la $g$ coincide con la $f$.
3) se la tua $f$ assume un minimo globale, diciamo in $x_{min}$, la $g$ sarà costante e uguale a $f(x_{min})$ per tutti i $t$ minori di $x_{min}$.
ci sono altre considerazioni da fare, ma per ora direi che sei sulla buona strada.
scusami ma nel frattempo mi si è suicidato internet per un'oretta :S
quello che dici è giusto, e anzi oserei dire che:
1) sicuramente il grafico della $g$ non sta mai sopra a quello della $f$
2) in qualche parte i due grafici potrebbero coincidere. se la tua $f$ parte da un certo punto e non fa altro che crescere (esempio: $e^x$) allora la $g$ coincide con la $f$.
3) se la tua $f$ assume un minimo globale, diciamo in $x_{min}$, la $g$ sarà costante e uguale a $f(x_{min})$ per tutti i $t$ minori di $x_{min}$.
ci sono altre considerazioni da fare, ma per ora direi che sei sulla buona strada.
Allora ho studiato f(x) e mi viene una funzione sempre positiva, crescente, concava e che interseca gli assi solo nell'origine.
Per cui mi verrebbe da dire che g(t) coincide con f(x) , se prendo una t qualunque l'inf di f(x) coincide sempre con quella t e così via.
da cui se g(t) = f(x) essendo f(x) continua e derivabile lo è anche g(t).
Anche se mi sembra troppo facile per essere vero -.-'
Per cui mi verrebbe da dire che g(t) coincide con f(x) , se prendo una t qualunque l'inf di f(x) coincide sempre con quella t e così via.
da cui se g(t) = f(x) essendo f(x) continua e derivabile lo è anche g(t).
Anche se mi sembra troppo facile per essere vero -.-'
ciao!
scusa ma se hai delle radici e un modulo come fa a venirti sempre derivabile? almeno in zero deve esserci un qualche problema!
inoltre se prendi il dominio massimale, ovvero $RR$, hai $lim_{x \to -oo} f(x) = +oo$ ma $f(0) = 0$, quindi non può essere sempre crescente!
c'è qualcosa che non va!
scusa ma se hai delle radici e un modulo come fa a venirti sempre derivabile? almeno in zero deve esserci un qualche problema!
inoltre se prendi il dominio massimale, ovvero $RR$, hai $lim_{x \to -oo} f(x) = +oo$ ma $f(0) = 0$, quindi non può essere sempre crescente!
c'è qualcosa che non va!
Allora decisamente c'è qualcosa che non va in effetti ( mai studiare una funzione di notte XD) rifaccio da capo!
Nuove conclusioni (sperando siano finalmente quelle giuste):
Allora f(x) è decrescente tra $ (-oo ,0) $ e crescente per $ (+oo ,0) $. Per cui g(t) nel primo intervallo è costante e assume sempre il valore di inf di f(x) e nel secondo coincide con f(x).
In x=0 f(x) ha un flesso a tangenza verticale (sempre che i miei conti siano giusti) che g(t) mantiene.
Tralasciando gli orrori nello studio di funzione i ragionamenti su g(t) sono giusti?
Allora f(x) è decrescente tra $ (-oo ,0) $ e crescente per $ (+oo ,0) $. Per cui g(t) nel primo intervallo è costante e assume sempre il valore di inf di f(x) e nel secondo coincide con f(x).
In x=0 f(x) ha un flesso a tangenza verticale (sempre che i miei conti siano giusti) che g(t) mantiene.
Tralasciando gli orrori nello studio di funzione i ragionamenti su g(t) sono giusti?
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