Studio di funzione

[squalllionheart]

Sto facendo un esercizio di analisi numerica e mi serve dimostrare che $g(x)=-e^(-x)$ non ha intersezione con la bisettrice.
Allora io ho ragionato i questo modo sia $f(x)=x$ che $g(x)=-e^(-x)$ sono funzioni crescenti che partono da meno infinito entrambe, la $g(x)$ però si schiaccia a o inoltre nel punto $x=0$ $f=0$ e $g=-1$ ora rimane per meno infinito vedere che la distanza tra $f$ e $g$ si mantegna positiva e facendo il limite del rapparto tre $g$ e $f$ a meno infinito fa più infinito quindi anche qui abbiamo la certezza che non si becchino. Giusto?

[Rigel1]

Sai che $e^y \ge 1+y > y$ per ogni $y\in \mathbb{R}$ (la prima disuguaglianza discende dal fatto che la funzione esponenziale è convessa, quindi il suo grafico sta sopra quello della sua retta tangente nell'origine).
Se metti $y=-x$ trovi quello che ti serve.

[squalllionheart]

ok grazie

[squalllionheart]

se ma il ragionamento al limite lo poso fare? Nel senso se ho due funzioni voglio capire la loro distanza hai due estremi fare il limite del rapporto che tipo di informazione mi da?

[Rigel1]

Il ragionamento al limite, da solo, non ti permette di concludere niente.
Puoi benissimo avere due funzione $f, g: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tali che
$\lim_{x\to \pm\infty} [f(x) - g(x)] = +\infty$, $f(0) > g(0)$,
ma il cui grafico si interseca tutte le volte che vuoi.

[squalllionheart]

hai ragione. il fatto che entrambe crescano non mi dice nulla sulla velocità con cui crescono...