Studio di funzione

[Skuld]

Potreste controllare se ho risolto correttamente questo studio di funzione? Perchè il grafico risulta un pò strano per la funzione data.

$f(x)=log$ $(x-3)/(x-2)$ $- x$

$\Insieme$ $di$ $esistenza (I.E.)$

Ho trattato la funzione come una funzione composta.

Per le funzioni razionali fratte,pongo:

$(x-2)$$!=$$0$ $x$$!=$$2$

Per le funzioni logaritmiche,pongo:

$(x-3)$$>-$ $0$ e $(x-2)$$>-$ $0$

$I.E.$ $=$ $($$-$ $\infty$$,$$2$$)$$U$$($$3$$,$$+$$\infty$$)$

2.Asintoti orizzontali

$\lim_{x \to \+infty}$$log$ $(x-3)/(x-2)$ $- x$ $=$ $-$ $\infty$

$\lim_{x \to \-infty}$$log$ $(x-3)/(x-2)$ $- x$ $=$ $+$ $\infty$

In questo caso gli asintoti orizzontali non esistono.

Asintoti verticali:

$\lim_{x \to \2^-}$$log$ $(x-3)/(x-2)$ $- x$ $=$ $-$ $2$

$\lim_{x \to \3^+}$$log$ $(x-3)/(x-2)$ $- x$ $=$ $-$ $3$

In questo caso otteniamo dei punti di discontinuità .Discontinuità di prima specie.

Studio quindi la Derivata prima per ottenere i punti di massimo e minimo.
E qui mi incasino un pò perchè non sono convinta che la derivata prima sia la seguente.

$f'(x)=$ $(x-3)/(x-2)$$*$ $(1(x-2)-1(x-3))/(x-2)^2$

Pongo questa derivata maggiore di zero e ottengo due punti stazionari 2 e 3. I due punti posti su una retta orientata mi danno che per 2 ho un punto di massimo e per 3 ho un punto di minimo.

Riporto nel grafico. Scusate se posto un link , ho provato a costruire il grafico con ASCIIsvg ma non ci sono riuscita. Ho usato quindi Microsoft Excel .

[/img]http://img266.imageshack.us/img266/2296/graficoq.jpg

[krek1]

Direi che devi ripartire da zero.

Ricordati che $log(x)$ è definito per $x in (0,+infty)$


POST EDIT: OPS chiedo scusa ma chi sa per quale arcano meccanismo (il mio cervello malato) l'avevo riletta come $f(x)=log((x-3)/(x-2) - x)$

[Camillo]

Non mettere tutti quei segni del dollaro : per ogni formula ne basta uno all'inizio e uno alla fine.

I.E. corretto $ (-oo,2)U (3,+oo ) $

limiti corretti eccetto quelli per gli asintoti verticali .
Derivata non corretta , da ricalcolare .

[dissonance]

[mod="dissonance"]@Skuld: Per favore rimuovi il TUTTO MAIUSCOLO dal titolo, usando il pulsante "MODIFICA" che trovi in alto a destra. Grazie.[/mod]

[Skuld]

Non capisco perchè la derivata non è corretta ?

Per il calcolo della derivata io procedo in questo modo :

Prendo in considerazione la funzione: $y=logf(x)$
Ricordando che :

$d/dx$ $[logf(x)] = (1)/(f(x)) *f'(x)$

$f(x)=log*(x-3)/(x-2) -x$ --> $y=logz$

pongo: $z=(x-3)/(x-2)$

Quindi la derivata è:

$f'(x)=(x-2)/(x-3)$ $*$ $(1(x-2)-(x-3)1)/(x-2)^2$

[Camillo]

E la derivata di $- x $ ?

[Skuld]

Ah quindi aggiungo - 1 alla fine e ottengo la derivata esatta