Studio di funzione
salve... sto studiando questa funzione:
$y=(x-2)e^(root(3)(x-2))$
e ho due dubbi... uno su un limite e uno sulla derivata:
1)Dominio $RR$
2)Non c'è simmetria
3)Le intersezioni con gli assi sono $A(0,-2e^root(3)(-2))$ e $B(0,2)$
4)Il segno della funzione è: positiva $x>2$ e negativa per $x<2$
5)I limiti:
$lim_(x->+\infty)(x-2)e^(root(3)(x-2))=+\infty$
$lim_(x->-\infty)(x-2)e^(root(3)(x-2))$ dovrebbe essere una forma indeterminata $(-\infty)*0$
come la posso risolvere? ho provato che non conviene se applico $f(x)g(x)=(f(x))/(1/(g(x)))$... poi mi sbaglierò
6)Monotonia:
$y'=e^(root(3)(x-2))+((x-2)e^(root(3)(x-2)))/(3root(3)((x-2)^2))$ ora diventa un po' più complicata...
se metto $e^(root(3)(x-2))$ in evidenza dovrebbe venire:
$y'=e^(root(3)(x-2))[1+(x-2)/(3root(3)((x-2)^2))]$ ponendola $>=0$
$e^(root(3)(x-2))$ è sempre positivo
resta:
$1+(x-2)/(3root(3)((x-2)^2))>=0$ ---> $(3root(3)((x-2)^2)+(x-2))/(3root(3)((x-2)^2))$
il denominatore
$3root(3)((x-2)^2)>0$ ---> $x!=2$
mentre il numeratore? alla fine dei conti mi viene $x^3+3x^2-6x+10>=0$... è possibile? ho sbagliato tutto o almeno sono riuscito a fare qualcosa di buono? XD grazie mille a tutti
$y=(x-2)e^(root(3)(x-2))$
e ho due dubbi... uno su un limite e uno sulla derivata:
1)Dominio $RR$
2)Non c'è simmetria
3)Le intersezioni con gli assi sono $A(0,-2e^root(3)(-2))$ e $B(0,2)$
4)Il segno della funzione è: positiva $x>2$ e negativa per $x<2$
5)I limiti:
$lim_(x->+\infty)(x-2)e^(root(3)(x-2))=+\infty$
$lim_(x->-\infty)(x-2)e^(root(3)(x-2))$ dovrebbe essere una forma indeterminata $(-\infty)*0$
come la posso risolvere? ho provato che non conviene se applico $f(x)g(x)=(f(x))/(1/(g(x)))$... poi mi sbaglierò
6)Monotonia:
$y'=e^(root(3)(x-2))+((x-2)e^(root(3)(x-2)))/(3root(3)((x-2)^2))$ ora diventa un po' più complicata...
se metto $e^(root(3)(x-2))$ in evidenza dovrebbe venire:
$y'=e^(root(3)(x-2))[1+(x-2)/(3root(3)((x-2)^2))]$ ponendola $>=0$
$e^(root(3)(x-2))$ è sempre positivo
resta:
$1+(x-2)/(3root(3)((x-2)^2))>=0$ ---> $(3root(3)((x-2)^2)+(x-2))/(3root(3)((x-2)^2))$
il denominatore
$3root(3)((x-2)^2)>0$ ---> $x!=2$
mentre il numeratore? alla fine dei conti mi viene $x^3+3x^2-6x+10>=0$... è possibile? ho sbagliato tutto o almeno sono riuscito a fare qualcosa di buono? XD grazie mille a tutti
Risposte
Punto 3) direi $B(2,0)$.
Punto 5) $lim_(x->-\infty)(x-2)e^(root(3)(x-2))$ prova ad effettuare il cambio di variabile $-y=(x-2)^(1/3)$ e poi applica De L'Hopital.
Punto 6) $1+(x-2)/(3root(3)((x-2)^2))=1+1/3(x-2)^(1/3)$ e procedi controllando la positività senza fare il denominatore comune.
Punto 5) $lim_(x->-\infty)(x-2)e^(root(3)(x-2))$ prova ad effettuare il cambio di variabile $-y=(x-2)^(1/3)$ e poi applica De L'Hopital.
Punto 6) $1+(x-2)/(3root(3)((x-2)^2))=1+1/3(x-2)^(1/3)$ e procedi controllando la positività senza fare il denominatore comune.
Scusa per il primo punto $B(2,0)$ ho sbagliato a scrivere ma sul quaderno avevo scritto bene 
per quanto riguarda il limite premetto di non aver mai provato questo metodo, ma ho tentato e mi è venuto così:
$-y=(x-2)^(1/3)$ --> $x=2-y^3$
$lim_(x->-\infty)(x-2)e^((x-2)^(1/3)) = lim_(y->?)-y^3*e^(-y) = lim_(y->?)-(y^3)/(e^y)$
e applicando De L'Hopital dovrebbe venire:
$lim_(y->?)-(6)/(e^y)$ ma la y a cosa tende se la x tende a $+\infty$? lo so può essere una domanda stupida ma io non l'ho mai fatto in questo modo
se tende a $+\infty$ il limite vale 0, se tende a $-\infty$ il limite vale $-\infty$... o almeno credo sia cosi
per la derivata ho seguito il tuo consiglio e dovrebbe venire così:
$1/3(x-2)^(1/3)>=-1$
$(x-2)^(1/3)>=-3$ ---> $x-2>=-27$ ---> $x>=25$
è possibile che sia così? grazie di tutto
per quanto riguarda il limite premetto di non aver mai provato questo metodo, ma ho tentato e mi è venuto così:
$-y=(x-2)^(1/3)$ --> $x=2-y^3$
$lim_(x->-\infty)(x-2)e^((x-2)^(1/3)) = lim_(y->?)-y^3*e^(-y) = lim_(y->?)-(y^3)/(e^y)$
e applicando De L'Hopital dovrebbe venire:
$lim_(y->?)-(6)/(e^y)$ ma la y a cosa tende se la x tende a $+\infty$? lo so può essere una domanda stupida ma io non l'ho mai fatto in questo modo
se tende a $+\infty$ il limite vale 0, se tende a $-\infty$ il limite vale $-\infty$... o almeno credo sia cosi
per la derivata ho seguito il tuo consiglio e dovrebbe venire così:
$1/3(x-2)^(1/3)>=-1$
$(x-2)^(1/3)>=-3$ ---> $x-2>=-27$ ---> $x>=25$
è possibile che sia così? grazie di tutto
La y tende a $+\infty$ se la x tende a $-\infty$
Per la derivata:
$1/3(x-2)^(1/3)>=-1 => x>=-25$
Spero sia tutto chiaro.
Ciao
Per la derivata:
$1/3(x-2)^(1/3)>=-1 => x>=-25$
Spero sia tutto chiaro.
Ciao
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