Studio di funzione

[ledrox]

Salve ho qualche dubbio su questo studio di funzione, soprattutto sul limite per trovare il coefficiente angolare dell'eventuale asintoto obliquo. Vi sarei grato se qualcuno mi spiegasse formalmente lo studio del diagramma della funzione:

$f(x)=sqrt(senhx -1)$

Grazie e Codiali Saluti

[ciampax]

Dominio: $\sinh x\geq 1$ che vuol dire $\frac{e^{2x}-2e^x-1}{2e^x}\geq 0$ e quindi, posto $t=e^x$, $t^2-2t-1\geq 0$, la cui soluzione è $t\leq 1-\sqrt{2},\ t\geq 1+\sqrt{2}$ e quindi $e^x\geq 1+\sqrt{2}$, da cui $x\geq \log(1+\sqrt{2})$. Quindi il dominio è $D=[\log(1+\sqrt{2}),+\infty)$.

La funzione risulta sempre positiva (è una radice quadrata), e interseca l'asse $x$ nel punto $A(\log(1+\sqrt{2}),0)$. Non ha intersezioni con l'asse delle $y$.

Comportamento asintotico: abbiamo

$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{e^x-e^{-x}-2}}{\sqrt{2}}=+\infty$

in quanto il primo esponenziale va ad infinito, mentre il secondo va a zero. Non ci sono asintoti di nessun tipo.

Poiché
$f'(x)=\frac{\cosh x}{2\sqrt{\sinh x-1}}$ e $\cosh x\geq 1$ la derivata prima è sempre positiva e non si annulla mai, quindi la funzione è sempre crescente e non ammette punti estremali sul suo dominio.

Poiché
$f''(x)=1/4\frac {\cosh^2 x-2\sinh x-2}{\sqrt{(\sinh x-1) ^3}}$ abbiamo $f''(x)=0$ se e solo se $\sinh^2 x-2\sinh x-1=0$. Tale equazione ammette una sola soluzione sul dominio della funzione (non ti faccio i conti perché mi sto addormentando) che è il flesso.

Perdonami, ma non riesco ad inserire il grafico!

[indovina]

Ciao Ciampax

Vorrei chiedere solo una cosa

Perchè usi $e$ per trovare il dominio della funzione?

[ciampax]

Scusate per il ritardo nella risposta ma ieri è stata una giornata lunga. Uso la definizione della funzione $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$. E' più semplice fare i conti che non usare direttamente le funzioni iperboliche.