Studio di funzione
Ciao a tutti! Ho un altro problema.....non capisco come fare per trovare gli zeri e il segno di un'ipotetica funzione...o meglio non capisco come devo porre la mia f(x) e poi cosa graficamente trova con l'uno e con l'altro....vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Scusa per trovare i segni e gli zeri di una funzione f semplicemente risolvi la disequazione f(x)>=0. LA seconda frase non l'ho capita.
La ricerca degli zer è la ricerca degli x in cui la f(x) si annulla, si trova ponendo $f(x)=0$ e ti rappresenta i punti di intersezione con l'asse x. Lo studio del segno si trova ponendo $f(x)>0$: il risultato ottenuto dalla disequazione sono gli intervalli in cui la funzione è positiva, ossia quelli in cui il suo grafico è situato sopra l'asse delle x. Ovviamente negli altri intervalli sarà negativa (e quindi sotto l'asse x).
ma se risolvo entrambi applicando la disequazione, sono uguali?
Riguardo alla seconda domanda volevo sapere cosa servono gli zeri e il segno della funzione nel momento in cui cerco di disegnarla graficamente...
Riguardo alla seconda domanda volevo sapere cosa servono gli zeri e il segno della funzione nel momento in cui cerco di disegnarla graficamente...
Allora, per trovare zeri e positività della funzione effettivamente risolvi l'equazione f(x)=0 e poi la disequazione f(x)>=0.
In pratica però l'equazione f(x)=0 può essere difficile da risolvere e spesso riesci ad ottenere più facilmente le informazioni cercate risolvendo direttamente la disequazione. In ogni caso parlarne così in astratto ti confonde solo le idee e in generale un metodo vale l'altro.
Per quanto riguarda il grafico, positività e zeri ti danno un primo grafico approssimativo della funzione e delle "regioni" in cui si trova. Un grafico da raffinare poi con altri strumenti come studio delle derivate ecc...
In pratica però l'equazione f(x)=0 può essere difficile da risolvere e spesso riesci ad ottenere più facilmente le informazioni cercate risolvendo direttamente la disequazione. In ogni caso parlarne così in astratto ti confonde solo le idee e in generale un metodo vale l'altro.
Per quanto riguarda il grafico, positività e zeri ti danno un primo grafico approssimativo della funzione e delle "regioni" in cui si trova. Un grafico da raffinare poi con altri strumenti come studio delle derivate ecc...
Faccio un esempio!
Se io ho la f(x) $(e^x-e^-x)/2$ per quanto riguarda gli zeri l'intersezione con l'asse delle y verrebbe (1,0), mentre con l'asse delle x in questo caso mi verrebbe $(e^x)=(e^-x)$....mi chiedo innanzitutto se il calcolo sia corretto e poi se quell'uguaglianza non sia uguale ad 1.....
Se io ho la f(x) $(e^x-e^-x)/2$ per quanto riguarda gli zeri l'intersezione con l'asse delle y verrebbe (1,0), mentre con l'asse delle x in questo caso mi verrebbe $(e^x)=(e^-x)$....mi chiedo innanzitutto se il calcolo sia corretto e poi se quell'uguaglianza non sia uguale ad 1.....
Invece per quanto riguarda il segno la mia f(x ) sarà positiva da $-prop$ a $+prop$....perchè si tratta di $e^x$....vero?
Mentre mi risulta che non ha asintoti....e questo un pò mi puzza......
Mentre mi risulta che non ha asintoti....e questo un pò mi puzza......
Intersezione con asse y: $f(0)=(e^0-e^0)/2=(1-1)/2=0$, pertanto l'intersezione con l'asse y (di equazione $x=0$) è (0,0). Ricorda poi che $e^{-x}=1/(e^x)$.
Intersezione con asse x: $f(x)=0$ e quindi $e^x-e^{-x}=0$ che dà $e^x=1/(e^x)$, da cui ricavi $e^2x=1=e^0$ e quindi $x=0$. Pertanto (0,0) è l'unica intersezione con entrambi gli assi
Segno: per quanto sia vero che $e^x=0$ per ogni x, lì hai una differenza, e quindi devi risolvere $e^x-e^{-x}>0$ che ti porta (vedi sopra) agli intervalli $f(x)>0$ in $]0,+\infty[$ e $f(x)<0$ in $]-\infty,0[$.
Effettivamente non vi sono asintoti, in quanto essendo la funzione definita su $RR$ devi solo controllare quelli a $+- \infty$, e tutti i limti hanno valori infiniti.
Intersezione con asse x: $f(x)=0$ e quindi $e^x-e^{-x}=0$ che dà $e^x=1/(e^x)$, da cui ricavi $e^2x=1=e^0$ e quindi $x=0$. Pertanto (0,0) è l'unica intersezione con entrambi gli assi
Segno: per quanto sia vero che $e^x=0$ per ogni x, lì hai una differenza, e quindi devi risolvere $e^x-e^{-x}>0$ che ti porta (vedi sopra) agli intervalli $f(x)>0$ in $]0,+\infty[$ e $f(x)<0$ in $]-\infty,0[$.
Effettivamente non vi sono asintoti, in quanto essendo la funzione definita su $RR$ devi solo controllare quelli a $+- \infty$, e tutti i limti hanno valori infiniti.
Ecco, quando dicevo che basta la disequazione intendevo :
prendiamo la funzione dell'esempio,
la disequazione è:
$(e^x-e^(-x))/2>=0$
$e^x-1/e^x>=0$
$e^(2x)>=1=e^0$
Per la monotonia dell'esponenziale:
$x>=0$
Fine,perchè ho ottenuto che la funzione è $>=0$ in $[0,+infty]$, quindi <=0 in [-infty,0], quindi necessariamente $=0$ in 0. A me pare più semplice e più elegante.
prendiamo la funzione dell'esempio,
la disequazione è:
$(e^x-e^(-x))/2>=0$
$e^x-1/e^x>=0$
$e^(2x)>=1=e^0$
Per la monotonia dell'esponenziale:
$x>=0$
Fine,perchè ho ottenuto che la funzione è $>=0$ in $[0,+infty]$, quindi <=0 in [-infty,0], quindi necessariamente $=0$ in 0. A me pare più semplice e più elegante.
scusate ancora la mia ignoranza.....ma se facessi la derivata prima di quella stessa funzione mi verrebbe $(e^x+e^-x)/2$....e ponendola come disequazione >0 mi segue lo stesso andamento della f(x)....vero?
Cosa intendi per stesso andamento? Il segno della derivata della funzione ti indica crescenza (segno positivo) o decrescenza (segno negativo) della tua funzione di partenza. In questo caso però la derivata è sempre positiva, perché hai due esponenziali sommati tra loro e divisi per una costante positiva. Quindi la funzione (che assume valori tra $+-\infty$ è sempre crescente e ciò giustifica anche l'unico zero.
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