Studio di funzione

[pirro-votailprof]

Ho un quesito a proposito dello studio di funzione.

Di svariati triangoli rettangoli aventi l’ipotenusa uguale alla lunghezza “a”, qual è quello avente l’area massima.
La risposta è: quello isoscele.
Non ho idea di come si possa dimostrare con lo studio di funzione.

Grazie a tutti coloro che vogliono aiutarmi.

[codino75]

devi esprimere l'area del triangolo in funzione di una qualche variabile x (tipicamente una qualche lunghezza del triangolo), tenendo fermo il fatto che l'ipotenusa vale 'a', quindi e' costante...
dopo devi semplicemente trovare il valore di x che rende max tale espressione.

[Paolo902]

Quanto dice il mitico codino è indubbiamente esatto (concordo in pieno). Tuttavia, mostro una via "alternativa" per risolvere il problema (sempre con lo studio di funzione), in cui però la nostra $x$ non rappresenta una lunghezza, bensì l'ampiezza di un angolo. Infatti, chiamiamo con $x$ uno dei due angoli (per forza acuti) interni del triangolo rettangolo. Ne segue - basta ricordare le relazioni trigonometriche - che le misure dei due cateti sono date da $acosx$ e $asinx$. L'area $A$ sarà dunque data da

$A=a^2/2cosxsinx$
cioè (formula di duplicazione del seno)

$A=a^2/4*sin(2x)$

Ora, questa è la funzione che devi andare a massimizzare. Per fare ciò, procedi normalmente. Derivi:
$A'=a^2/2cos2x$

e poi annulli la derivata prima, per studiarne il segno:

$a^2/2cos(2x)=0$

Questa diventa una sempice equazione goniometrica elementare, le cui soluzioni sono (ci aggiungo anche la periodicità, cosa non rilevante ai fini dell'esercizio):

$x_1=pi/4+kpi$
$x_2=3/4pi+kpi$

Facendo alcune considerazioni sul segno della funzione derivata in un intorno di $pi/4$ scopri che è proprio il tuo massimo (anche perchè l'altra soluzione era da scartare, visto che $3/4pi>pi/2$)

Dunque se un angolo vale $pi/4$ anche l'altro deve valere $pi/4$ (siamo in un triangolo rettangolo!): ma se in un triangolo due angoli sono congruenti allora questo è isoscele. E sei arrivato alla fine del tuo problema.

Spero di essermi spiegato bene e di esserti stato utile. Mi raccomando non esitare a postare i tuoi dubbi.

Ciao,

stammi bene.

Paolo