Studio di funzione 2 variabili
Salve a tutti.
E' il mio primo post che inserisco, se dovessi sbagliare qualcosa sulla scrittura, formule o altro vi prego di essere clementi XD. Allora ho questa funzione:
\[ z = \sqrt{x ^ 2 + y ^ 2} +y ^ 2 -1 \]
nel dominio: \[ E=\{(x,y)\in \Re ^2 | x ^2 + y ^2 \leq 16 \} \]
Devo studiare continuità, derivabilità, differenziabilità, max e min.
Io ho provato a trovarmi i massimi e minimi (ma non so se sono giusti) nel dominio e sula frontiera della circonferenza. Ma per quanto riguarda il resto, non so neanche come impostarlo sinceramente.
Sapete darmi consigli? Non vi richiedo assolutamente i calcoli, quelli poi me li risolvo io, ma almeno un cenno di impostazione per immettermi sulla retta via.
Grazie a tutti!
E' il mio primo post che inserisco, se dovessi sbagliare qualcosa sulla scrittura, formule o altro vi prego di essere clementi XD. Allora ho questa funzione:
\[ z = \sqrt{x ^ 2 + y ^ 2} +y ^ 2 -1 \]
nel dominio: \[ E=\{(x,y)\in \Re ^2 | x ^2 + y ^2 \leq 16 \} \]
Devo studiare continuità, derivabilità, differenziabilità, max e min.
Io ho provato a trovarmi i massimi e minimi (ma non so se sono giusti) nel dominio e sula frontiera della circonferenza. Ma per quanto riguarda il resto, non so neanche come impostarlo sinceramente.
Sapete darmi consigli? Non vi richiedo assolutamente i calcoli, quelli poi me li risolvo io, ma almeno un cenno di impostazione per immettermi sulla retta via.
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao! Benvenuto sul forum. Per lo studio della regolarità della funzione (continuità, derivabilità e differenziabilità) dovresti aver visto nel tuo corso (o sul tuo libro di testo) dei teoremi del tipo: "Somma, differenza, prodotto, rapporto (dove il denominatore è diverso da $0$) e composizione di funzioni continue in un dato insieme è una funzione continua. in quello stesso insieme". Quindi, tipicamente, lo studio della continuità si imposta prima applicando questi teoremi in base alle singole funzioni elementari che compongono la funzione e, se ci dovessero essere punti in cui il teorema suddetto non dà informazioni, essi vanno studiati a parte con la definizione o con altri strumenti (anche se tali punti sono infiniti; in tal caso, si studiano come generici punti e si usa il fatto che sono generici per dire che vale sempre, anche per infiniti punti).
Ad esempio, una parte dello studio della continuità della funzione che hai proposto è la seguente: "Dato che le funzioni quadrato $g(x,y):=x^2$ e $h(x,y):=y^2$ sono continue in tutto $\mathbb{R}^2$, per il teorema sulla continuità della somma di funzioni continue segue che la somma delle funzioni quadrato $s(x,y):=g(x,y)+h(x,y)=x^2+y^2$ è una funzione continua in tutto $\mathbb{R}^2$. Dato che la radice quadrata è una funzione continua in tutto il suo dominio (ossia dove il radicando è non negativo), la composizione $\sqrt{x^2+y^2}$ è continua in tutto il suo dominio. Dato che $x^2+y^2 \ge 0$ per ogni $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, segue che $\sqrt{x^2+y^2}$ è continua in tutto $\mathbb{R}^2$ e perciò, in particolare, è continua in $E \subset \mathbb{R}^2$", eccetera. Chiaramente devi aver nota (o meglio ancora, dimostrata) la regolarità delle funzioni elementari.
Nel caso della derivabilità e della differenziabilità valgono teoremi analoghi, ossia: somma, differenza, prodotto, rapporto (dove il denominatore è diverso da $0$) e composizione di funzioni derivabili (o differenziabili) in un dato insieme è una funzione derivabile (o differenziabile) nello stesso insieme. Per i punti che non vengono "coperti" dai teoremi, anche qui rimane la definizione o altri ragionamenti (ad esempio, un teorema importante per la differenziabilità è il teorema del differenziale totale; ti ho linkato Wikipedia per indicarti a quale teorema mi sto riferendo, ma assolutamente studialo su un libro di testo di analisi). Quindi, nel caso delle derivate parziali, si studiano i limiti dei rapporti incrementali fissando di volta in volta le altre variabili tranne una e per la differenziabilità in un punto $(x_0,y_0)$ si deve dimostrare (te lo scrivo in due variabili) che
$$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x} (x-x_0)-\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y} (y-y_0)}{\|(h,k)\|}=0$$
Ad esempio, una parte dello studio della continuità della funzione che hai proposto è la seguente: "Dato che le funzioni quadrato $g(x,y):=x^2$ e $h(x,y):=y^2$ sono continue in tutto $\mathbb{R}^2$, per il teorema sulla continuità della somma di funzioni continue segue che la somma delle funzioni quadrato $s(x,y):=g(x,y)+h(x,y)=x^2+y^2$ è una funzione continua in tutto $\mathbb{R}^2$. Dato che la radice quadrata è una funzione continua in tutto il suo dominio (ossia dove il radicando è non negativo), la composizione $\sqrt{x^2+y^2}$ è continua in tutto il suo dominio. Dato che $x^2+y^2 \ge 0$ per ogni $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, segue che $\sqrt{x^2+y^2}$ è continua in tutto $\mathbb{R}^2$ e perciò, in particolare, è continua in $E \subset \mathbb{R}^2$", eccetera. Chiaramente devi aver nota (o meglio ancora, dimostrata) la regolarità delle funzioni elementari.
Nel caso della derivabilità e della differenziabilità valgono teoremi analoghi, ossia: somma, differenza, prodotto, rapporto (dove il denominatore è diverso da $0$) e composizione di funzioni derivabili (o differenziabili) in un dato insieme è una funzione derivabile (o differenziabile) nello stesso insieme. Per i punti che non vengono "coperti" dai teoremi, anche qui rimane la definizione o altri ragionamenti (ad esempio, un teorema importante per la differenziabilità è il teorema del differenziale totale; ti ho linkato Wikipedia per indicarti a quale teorema mi sto riferendo, ma assolutamente studialo su un libro di testo di analisi). Quindi, nel caso delle derivate parziali, si studiano i limiti dei rapporti incrementali fissando di volta in volta le altre variabili tranne una e per la differenziabilità in un punto $(x_0,y_0)$ si deve dimostrare (te lo scrivo in due variabili) che
$$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x} (x-x_0)-\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y} (y-y_0)}{\|(h,k)\|}=0$$
Grazie mille per avermi risposto. Sei stato molto chiaro. Ora allora provo a fare il tutto e vediamo.
Grazie ancora!!
Grazie ancora!!
Ciao
A me piace trovare max e min nelle funzioni in due variabili quando è possibile farlo senza sforzo (calcoloni)
Nel nostro caso avrei un paio di idee, metto spoiler e poi mi dici
A me piace trovare max e min nelle funzioni in due variabili quando è possibile farlo senza sforzo (calcoloni)
Nel nostro caso avrei un paio di idee, metto spoiler e poi mi dici
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