Studio di funzione

[Eugg19]

Ciao a tutti.
Ho provato a svolgere in diversi modi questa:
\[
f(x) = \frac{x}{2}\ \log \left(\frac{1+x^2}{4}\right) +\arctan x - x\; ,
\]
ma non sono riuscito a risolverla.

Ho provato:
- Primo approccio: ho cercato di studiarla normalmente, senza risultati ovviamente;
- Secondo approccio: ho cercato di risolverla con il metodo di newton o il metodo delle tangenti, ma non ho ben capito come si utilizza;
- Terzo approccio: ho provato ad usare teorema di esistenza degli zeri, ma il procedimento mi sembra troppo prolisso per trovare il termine (c) o f(x)=f(-x)=0.

Spero in una vostra risposta al più presto possibile. Grazie.

[gugo82]

Lo sai che le cose che elenchi negli approcci risolvono tre problemi diversi?

Quindi la domanda è: che te ne devi fare di quella funzione?
Ossia: qual è la traccia completa dell'esercizio?

[pilloeffe]

Ciao Eugg19,

Benvenuto sul forum!

Beh, non mi pare particolarmente complicata: si vede subito che la funzione proposta ha dominio $D = \RR $, si ha $f(0) = 0 $ e $f(-x) = - f(x) $ per cui la funzione proposta è dispari e si può limitarne lo studio a $x > 0 $.
Il problema casomai potrebbe essere determinare l'altra intersezione con l'asse $x$, ammesso che ti interessi, dato che $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $: per fare ciò potresti procedere col tuo secondo approccio...
Calcolerei invece $f'(x) $, che è semplice e da essa si capisce molto sull'andamento della funzione proposta...