Studio di funzione
Buongiorno. Volevo chiedervi delucidazioni su questa funzione $g(x)=(6-x)logx-xlog(6-x)$.
Mi chiede di provare che esistono $z_1in(2,3)$ e $z_2in(3,4)$ tali che :
$g'(x)>0 in (0,z_1)$, $g'(z_1)=0$, $g'(x)<0 in (z_1,z_2)$, $g'(z_2)=0$, $g'(x)>0 in (z_2,6)$.
E poi di trovare gli zeri gi $g(x)$.
Allora, intanto faccio la derivata e la pongo =0 :
$g'(x)=(6-x)/x-logx-log(6-x)+x/(6-x)=0$
avrò $(6-x)^2-x(6-x)logx-x(6-x)log(6-x)+x^2=0$
Ora mi è poco chiaro come studiare questa funzione.
Mi chiede di provare che esistono $z_1in(2,3)$ e $z_2in(3,4)$ tali che :
$g'(x)>0 in (0,z_1)$, $g'(z_1)=0$, $g'(x)<0 in (z_1,z_2)$, $g'(z_2)=0$, $g'(x)>0 in (z_2,6)$.
E poi di trovare gli zeri gi $g(x)$.
Allora, intanto faccio la derivata e la pongo =0 :
$g'(x)=(6-x)/x-logx-log(6-x)+x/(6-x)=0$
avrò $(6-x)^2-x(6-x)logx-x(6-x)log(6-x)+x^2=0$
Ora mi è poco chiaro come studiare questa funzione.
Risposte
svolgendo i calcoli della derivata puoi arrivare a scriverla come $(x^2-6x)log(6x-x^2)+2(x^2-6x+18)=0 rArr log(6x-x^2)=-2(x^2-6x+18)/(x^2-6x)$
ho fatto i calcoli un po' in fretta, ma disegnandoli dovrebbero essere due sorte di parabole che si intersecano, la prima verso il basso la seconda verso l'altro ed ognuna ha il massimo (rispettivamente minimo) in 3 e quindi si intersecano in due punti, uno prima di 3 ed uno dopo, da cui $z_1 ^^ z_2$
dal disegno andando a studiare il segno della derivata ($(x^2-6x)log(6x-x^2)>= -2(x^2-6x+18)$) e considerando che $x^2-6x<0$ trai le conclusioni sulla crescenza e decrescenza della funzione
ho fatto i calcoli un po' in fretta, ma disegnandoli dovrebbero essere due sorte di parabole che si intersecano, la prima verso il basso la seconda verso l'altro ed ognuna ha il massimo (rispettivamente minimo) in 3 e quindi si intersecano in due punti, uno prima di 3 ed uno dopo, da cui $z_1 ^^ z_2$
dal disegno andando a studiare il segno della derivata ($(x^2-6x)log(6x-x^2)>= -2(x^2-6x+18)$) e considerando che $x^2-6x<0$ trai le conclusioni sulla crescenza e decrescenza della funzione
Quindi la devo svolgere con il metodo grafico? E vedo dove si intersecano e dove sono <> di 0?
Non posso tipo studiare i limiti della derivata e vedere che comportamento ha agli estremi e dedurne che è sempre crescente o sempre decrescente? Fare uno studio di funzione della derivata
Non posso tipo studiare i limiti della derivata e vedere che comportamento ha agli estremi e dedurne che è sempre crescente o sempre decrescente? Fare uno studio di funzione della derivata
per disegnare i due grafici ho fatto un procedimento del genere. fare una studio della derivata secondo me non risolve il problema, arrivi ad espressioni tipo quella da cui sei partita e non risolvi niente. però prova pure e vedi cosa esce
Eh no appunto, perchè di solito lo faccio così però in questo caso mi risultava difficile. Dovrei trovare il dominio della derivata e vedere i limiti agli estremi e nei punti di discontinuità di questa no?
secondo me ti complichi solo la vita facendo così. un grafico di un logaritmo e quello di un polinomio è molto più facile di quell'altro.
Ho svolto l'esercizio con questo metodo grafico, mi vengono appunto le due parabole che citavi prima. Però la disequazioni mi chiede quando il log è maggiore della funzione fratta e quindi il risultato che ottengo è esattamente lì verso, cioè il log sta sempre sotto la parabola negli intervalli in cui dovrebbe stare sopra
hai tenuto conto del fatto che in $(0,6)$ (dominio della funzione di partenza) la quantità $x^2-6x <0$?
con questa considerazione quando dividiamo per portare a secondo membro quella quantità dobbiamo ricordarci di cambiare il verso della disequazione. dovrai quindi studiare: $log(6x-x^2)<= -2*(x^2-6x+18)/(x^2-6x)$
con questa considerazione quando dividiamo per portare a secondo membro quella quantità dobbiamo ricordarci di cambiare il verso della disequazione. dovrai quindi studiare: $log(6x-x^2)<= -2*(x^2-6x+18)/(x^2-6x)$
Ora che me lo dici si, me ne sono accorta!
tutto apposto quindi?
Yes, ci sono , ti ringrazio molto!!
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