Studio di funzione
Ciao a tutti!
Per la funzione \( f(x)= e^{x^2-x} \) si può dire che:
a) il punto 1 è di flesso
b) il punto $(1/2)$ è di minimo globale
c)$f$ è strettamente crescente in $(0,2)$
Ho provato a risolverlo nel seguente modo:
Ho calcolato la derivata prima
\( f'(x)= e^{x^2-x}\cdot (2x-1) \)
Ho studiato il segno della derivata prima:
\( f'(x)>0 \)
\( e^{x^2-x}\cdot (2x-1)>0 \)
e trovo come soluzione
\( e^{x^2-x}>0 \) \( \forall x \epsilon R \)
Quindi per come ho risolto l'esercizio la risposta corretta dovrebbe essere la C, il libro dice che la risposta corretta è la B, mi spieghereste perchè? come devo risolverlo?
Per la funzione \( f(x)= e^{x^2-x} \) si può dire che:
a) il punto 1 è di flesso
b) il punto $(1/2)$ è di minimo globale
c)$f$ è strettamente crescente in $(0,2)$
Ho provato a risolverlo nel seguente modo:
Ho calcolato la derivata prima
\( f'(x)= e^{x^2-x}\cdot (2x-1) \)
Ho studiato il segno della derivata prima:
\( f'(x)>0 \)
\( e^{x^2-x}\cdot (2x-1)>0 \)
e trovo come soluzione
\( e^{x^2-x}>0 \) \( \forall x \epsilon R \)
Quindi per come ho risolto l'esercizio la risposta corretta dovrebbe essere la C, il libro dice che la risposta corretta è la B, mi spieghereste perchè? come devo risolverlo?
Risposte
Non mi sembra che $ e^{x^2-x}\cdot (2x-1)>0 $ per $\forall x \epsilon (0,2) $, prova a mettere $ x=1/4$ e diventa negativo
"Giorgia2607":
Ciao a tutti!
Per la funzione \( f(x)= e^{x^2-x} \) si può dire che:
a) il punto 1 è di flesso
b) il punto $(1/2)$ è di minimo globale
c)$f$ è strettamente crescente in $(0,2)$
Ho provato a risolverlo nel seguente modo:
Ho calcolato la derivata prima
\( f'(x)= e^{x^2-x}\cdot (2x-1) \)
Ho studiato il segno della derivata prima:
\( f'(x)>0 \)
\( e^{x^2-x}\cdot (2x-1)>0 \)
e trovo come soluzione
\( e^{x^2-x}>0 \) \( \forall x \epsilon R \)
Quindi per come ho risolto l'esercizio la risposta corretta dovrebbe essere la C, il libro dice che la risposta corretta è la B, mi spieghereste perchè? come devo risolverlo?
Hai studiato solo il segno di un fattore, l'esponenziale...E l'altro? È proprio l'altro che determina il segno della derivata prima!
"AnalisiZero":
Hai studiato solo il segno di un fattore, l'esponenziale...E l'altro? È proprio l'altro che determina il segno della derivata prima!
Mi sono basato sul fatto che la funzione esponenziale è sempre maggiore di 0 non riesco a capire perchè devo studiare anche $x^2-x$?
"Giorgia2607":
[quote="AnalisiZero"]
Hai studiato solo il segno di un fattore, l'esponenziale...E l'altro? È proprio l'altro che determina il segno della derivata prima!
Mi sono basato sul fatto che la funzione esponenziale è sempre maggiore di 0 non riesco a capire perchè devo studiare anche $x^2-x$?[/quote]
Se provassi a usare i logaritmi verrebbe :
\( log(e^{x^2-x}) \)>$log0$
ma log 0 è impossibile, come si risolve?
"Giorgia2607":
[quote="Giorgia2607"][quote="AnalisiZero"]
Hai studiato solo il segno di un fattore, l'esponenziale...E l'altro? È proprio l'altro che determina il segno della derivata prima!
Mi sono basato sul fatto che la funzione esponenziale è sempre maggiore di 0 non riesco a capire perchè devo studiare anche $x^2-x$?[/quote]
Se provassi a usare i logaritmi verrebbe :
\( log(e^{x^2-x}) \)>$log0$
ma log 0 è impossibile, come si risolve?[/quote]
Piano.
L'esponenziale è moltiplicato per qualcos'altro, e finché non conosci segno dell'altro fattore non puoi dire "ah il prodotto è positivo". Hai un prodotto. È giusto che l'esponenziale è sempre positivo nel suo dominio. Ma sei sicuro di poter dire che il prodotto è sempre positivo? È come avere $2*x>0$ e dire, "beh $2>0$ sempre allora $2*x>0$ sempre, ti sembra vero? $x$ può essere qualunque cosa...
Insomma si stratta di risolvere una disequazione, fondamentale in analisi 1. Il prodotto di due quantità è strettamente positivo se e solo se le due quantità sono strettamente positive o strettamente negative entrambe.
"AnalisiZero":
Piano.
L'esponenziale è moltiplicato per qualcos'altro, e finché non conosci segno dell'altro fattore non puoi dire "ah il prodotto è positivo". Hai un prodotto. È giusto che l'esponenziale è sempre positivo nel suo dominio. Ma sei sicuro di poter dire che il prodotto è sempre positivo? È come avere $2*x>0$ e dire, "beh $2>0$ sempre allora $2*x>0$ sempre, ti sembra vero? $x$ può essere qualunque cosa...
Insomma si stratta di risolvere una disequazione, fondamentale in analisi 1. Il prodotto di due quantità è strettamente positivo se e solo se le due quantità sono strettamente positive o strettamente negative entrambe.
Ok, grazie adesso ho capito. Però, mi è venuto ancora un dubbio quando ho \( e^{x^2-x}⋅(2x−1)>0 \) non posso dividere tutto per $(2x-1)$ e semplificare in modo da restare solo con \( e^{x^2-x} \) ? Perchè non posso farlo?
"Giorgia2607":
[quote="AnalisiZero"]
Piano.
L'esponenziale è moltiplicato per qualcos'altro, e finché non conosci segno dell'altro fattore non puoi dire "ah il prodotto è positivo". Hai un prodotto. È giusto che l'esponenziale è sempre positivo nel suo dominio. Ma sei sicuro di poter dire che il prodotto è sempre positivo? È come avere $2*x>0$ e dire, "beh $2>0$ sempre allora $2*x>0$ sempre, ti sembra vero? $x$ può essere qualunque cosa...
Insomma si stratta di risolvere una disequazione, fondamentale in analisi 1. Il prodotto di due quantità è strettamente positivo se e solo se le due quantità sono strettamente positive o strettamente negative entrambe.
Ok, grazie adesso ho capito. Però, mi è venuto ancora un dubbio quando ho \( e^{x^2-x}⋅(2x−1)>0 \) non posso dividere tutto per $(2x-1)$ e semplificare in modo da restare solo con \( e^{x^2-x} \) ? Perchè non posso farlo?[/quote]
Bella domanda, non saprei rispondere in modo completo per cui aspettiamo gli altri, interessa anche me.
Ok, ti ringrazio. Nel caso in cui non rispondesse nessuno, se mi trovassi in una situazione del genere non divido e risolvo come mi hai spiegato tu?
"Giorgia2607":
Ok, ti ringrazio. Nel caso in cui non rispondesse nessuno, se mi trovassi in una situazione del genere non divido e risolvo come mi hai spiegato tu?
Certo, infatti se dividi ottieni un risultato che è una cosa diversa da quello che otterresti non dividendo.
Va Bene, tutto chiaro! Grazie mille e buona serata
"Giorgia2607":
Va Bene, tutto chiaro! Grazie mille e buona serata
Potrei avere una spiegazione, ma prendila davvero con le pinze, qualcuno ci farà capire meglio.
Se tu dividi per $(2x-1)$, beh non puoi più accettare $1/2$ come valore di $x$, altrimenti staresti dividendo per $0$. Fin qui dovresti esserci.
Alla fine hai che $e^(x^2-x)>0$ per ogni $x$ di $RR$ eccetto $1/2$, perché l'hai dovuto escludere per poter fare quella divisione. Ma ciò è falso, $e^(x^2-x)>0$ per ogni $x$ di $RR$, incluso $1/2$.
Mi rendo conto che non è una spiegazione generale.
Prendila decisamente con le pinze come già detto, aspettiamo risposte migliori.
Puoi dividere quando e' diverso da zero ovviamente . Poi se dividi per una quantita' negativa cambia il segno della disequazione ovviamente.
"MementoMori":
Puoi dividere quando e' diverso da zero ovviamente . Poi se dividi per una quantita' negativa cambia il segno della disequazione ovviamente.
Adesso ho capito! Grazie mille.
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