Studio di funzione
Salve a tutti, ho la seguente funzione: \(\displaystyle f(x)=e^{-|x|}\sqrt{|x-1|} \)
Ho qualche dubbio su come studiare questa funzione, la cosa che mi da pensare sono i due valori assoluti, che sono anche diversi.
Qualche consiglio?
Proviamo:
Insieme di definizione(campo di esistenza):
L'unica cosa da verificare è l'argomento della radice quadrata.
\(\displaystyle |x-1|\geq0 \) Vero \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \)
Studio di parità e disparità:
*Pari: \(\displaystyle f(x)=f(−x) \)
\(\displaystyle e^{-|x|}\sqrt{|x-1|}\neq e^{-|-x|}\sqrt{|-x-1|} Falsa
\)
*Dispari: \(\displaystyle f(−x)=−f(x) \)
\(\displaystyle e^{-|-x|}\sqrt{|-x-1|}\neq -e^{-|x|}\sqrt{|x-1|} Falsa
\)
Intersezione con gli assi:
*Asse x:
\(\displaystyle \begin{cases} x=0 \\ y=e^{-|x|}\sqrt{|x-1|}, && y=\sqrt{1} , && y=1 \end{cases} \)
*Asse y:
\(\displaystyle \begin{cases} y=0 \\ e^{-|x|}\sqrt{|x-1|}=0, && \frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}}=0, && \sqrt{|x-1|}=0, && |x-1|=0, && x=1 \end{cases} \)
Ho due intersezione con gli assi: (0,1) e (1,0)
Studio del segno della funzione:
\(\displaystyle f(x)>0
\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}}>0
\)
a)
\(\displaystyle \sqrt{|x-1|}>0, x\neq 1
\)
b)
\(\displaystyle e^{|x|}>0, \forall x \in \mathbb{R} \)
La funzione è maggiore di 0 per: \(\displaystyle ]-\infty,11,+\infty[ \)
Limiti agli estremi del dominio:
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}e^{-|x|}\sqrt{|x-1|} \)
Ho una forma indeterminata del tipo: \(\displaystyle 0*\infty \)
Quindi scrivo la funzione come:
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}} \)
Cosi ho una forma indeterminata del tipo: \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty} \), essendo sotto ho un esponenziale, quindi di grado maggiore fa 0.
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}}=0 \)
P.s.
C'è un altro modo per dimostrare che questo limite fa 0, non usando come affermazione che al denominatore ho un esponenziale?
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}e^{-|x|}\sqrt{|x-1|} \)
Ho una forma indeterminata del tipo: \(\displaystyle 0*\infty \)
Quindi scrivo la funzione come:
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}} \)
Cosi ho una forma indeterminata del tipo: \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty} \), essendo sotto ho un esponenziale, quindi di grado maggiore fa 0.
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}}=0 \)
Quindi ci sono due asintoti orizzontali.
Fino a qui, sto sbagliando qualcosa?
Con la derivate, non so come comportami.
Ho qualche dubbio su come studiare questa funzione, la cosa che mi da pensare sono i due valori assoluti, che sono anche diversi.
Qualche consiglio?
Proviamo:
Insieme di definizione(campo di esistenza):
L'unica cosa da verificare è l'argomento della radice quadrata.
\(\displaystyle |x-1|\geq0 \) Vero \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \)
Studio di parità e disparità:
*Pari: \(\displaystyle f(x)=f(−x) \)
\(\displaystyle e^{-|x|}\sqrt{|x-1|}\neq e^{-|-x|}\sqrt{|-x-1|} Falsa
\)
*Dispari: \(\displaystyle f(−x)=−f(x) \)
\(\displaystyle e^{-|-x|}\sqrt{|-x-1|}\neq -e^{-|x|}\sqrt{|x-1|} Falsa
\)
Intersezione con gli assi:
*Asse x:
\(\displaystyle \begin{cases} x=0 \\ y=e^{-|x|}\sqrt{|x-1|}, && y=\sqrt{1} , && y=1 \end{cases} \)
*Asse y:
\(\displaystyle \begin{cases} y=0 \\ e^{-|x|}\sqrt{|x-1|}=0, && \frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}}=0, && \sqrt{|x-1|}=0, && |x-1|=0, && x=1 \end{cases} \)
Ho due intersezione con gli assi: (0,1) e (1,0)
Studio del segno della funzione:
\(\displaystyle f(x)>0
\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}}>0
\)
a)
\(\displaystyle \sqrt{|x-1|}>0, x\neq 1
\)
b)
\(\displaystyle e^{|x|}>0, \forall x \in \mathbb{R} \)
La funzione è maggiore di 0 per: \(\displaystyle ]-\infty,11,+\infty[ \)
Limiti agli estremi del dominio:
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}e^{-|x|}\sqrt{|x-1|} \)
Ho una forma indeterminata del tipo: \(\displaystyle 0*\infty \)
Quindi scrivo la funzione come:
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}} \)
Cosi ho una forma indeterminata del tipo: \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty} \), essendo sotto ho un esponenziale, quindi di grado maggiore fa 0.
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}}=0 \)
P.s.
C'è un altro modo per dimostrare che questo limite fa 0, non usando come affermazione che al denominatore ho un esponenziale?
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}e^{-|x|}\sqrt{|x-1|} \)
Ho una forma indeterminata del tipo: \(\displaystyle 0*\infty \)
Quindi scrivo la funzione come:
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}} \)
Cosi ho una forma indeterminata del tipo: \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty} \), essendo sotto ho un esponenziale, quindi di grado maggiore fa 0.
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{|x-1|}}{e^{|x|}}=0 \)
Quindi ci sono due asintoti orizzontali.
Fino a qui, sto sbagliando qualcosa?
Con la derivate, non so come comportami.
Risposte
Credo che quanto fin qua hai affermato sia corretto , la funzione si mantiene sempre maggiore di zero, eccetto che nel punto $1$, dove si annulla, ed si ha $lim_(x->+infty)f (x)=0$, ed $lim_(x->-infty)f (x)=0$, i valori assoluti mi fanno sospettare che nei punti critici $x=0$ ed $x=1$ si abbiano dei punti cosiddetti angolosi, Per verificarlo prova a calcolare il limite della derivata prima della funzione nei suddetti punti;
Quindi dici, che finora è giusto?
Con le derivate, non so come comportami, perché ci sono i valori assoluti.
Vorrei dividere in casi, ma ne avrei quattro, giusto?
Con le derivate, non so come comportami, perché ci sono i valori assoluti.
Vorrei dividere in casi, ma ne avrei quattro, giusto?
Bastano tre casi 
Puoi suddividere il dominio come $(-\infty, 0) \cup [0, 1) \cup [1, +\infty)$.
Puoi suddividere il dominio come $(-\infty, 0) \cup [0, 1) \cup [1, +\infty)$.
Perché solo tre casi, come lo determini? 
Perché i quattro casi di cui parli derivano da $x\geq 0$ o $x <0$ e da $x \geq 1$ o $x < 1$. Ma quando combini questi casi fra loro, ce n'è uno di troppo: $x <0$ e $x \geq 1$ che non è possibile. Quindi ti conviene studiare il segno di entrambe le funzioni dentro al modulo e riportarle sulla retta reale. Vedrai che si dividerà automaticamente negli intervalli che cerchi
Dici che: $ x <0 $ e $ x \geq 1 $ che non è possibile.
Allora: $ x<1 $ e $ x\geq 0 $ non dovrebbe essere anche esso impossibile?
Perdonami, non mi è ancora molto chiaro.
Allora: $ x<1 $ e $ x\geq 0 $ non dovrebbe essere anche esso impossibile?
"Antimius":
Quindi ti conviene studiare il segno di entrambe le funzioni dentro al modulo e riportarle sulla retta reale. Vedrai che si dividerà automaticamente negli intervalli che cerchi
Perdonami, non mi è ancora molto chiaro.
Per $x <=0$ la funzione è $sqrt (1-x)/e^(-x) $ la cui derivata è $f'(x)=e^x (1-2x)/(2sqrt (1-x)) $ e si ha $lim_(x->0^-)f'(x)=1/2$
Per $0>=x <=1$ la funzione vale $sqrt (1-x)/e^x $ la cui derivata è $f'(x)=e^(-x)(2x-3)/(2sqrt (1-x)) $ e si ha $lim_(x-->0^+)f'(x)=-3/2$, quindi il limite della derivata destra e sinistra nel punto $0$ sono diversi, e di segno opposto, pertanto la funzione in tale punto è si continua ma ha un punto angoloso.
Prova a verificarlo anche nel punto $x=1$ sapendo che per $x>=1$ la funzione vale $sqrt (x-1)/e^x $, e la derivata $e^(-x)(3-2x)/(2sqrt (x-1)) $, risulterà anch'esso un punto angoloso.
Quindi in definitiva togliendo il valore assoluto le funzioni da studiare diventano tre nei rispettivi intervalli $x <=0$, $0 <=x <=1$ ed $x>=1$, spero di non avere sbagliato ed essere stato chiaro.
Per $0>=x <=1$ la funzione vale $sqrt (1-x)/e^x $ la cui derivata è $f'(x)=e^(-x)(2x-3)/(2sqrt (1-x)) $ e si ha $lim_(x-->0^+)f'(x)=-3/2$, quindi il limite della derivata destra e sinistra nel punto $0$ sono diversi, e di segno opposto, pertanto la funzione in tale punto è si continua ma ha un punto angoloso.
Prova a verificarlo anche nel punto $x=1$ sapendo che per $x>=1$ la funzione vale $sqrt (x-1)/e^x $, e la derivata $e^(-x)(3-2x)/(2sqrt (x-1)) $, risulterà anch'esso un punto angoloso.
Quindi in definitiva togliendo il valore assoluto le funzioni da studiare diventano tre nei rispettivi intervalli $x <=0$, $0 <=x <=1$ ed $x>=1$, spero di non avere sbagliato ed essere stato chiaro.
Perdonami ma non ho capito, perché 0 è contenuto in due intervalli e 1 è contenuto anch'esso in due intervalli.
Posso chiederti di essere un pò, più chiaro.
Posso chiederti di essere un pò, più chiaro.
Prendi la retta reale e segnaci sopra i due punti 0 e 1, quanti intervalli ottieni?
I tre intervalli sono:
$x<0$
$0
gli uguale in 0 e 1 li metti dove vuoi, o sull'intervallo inferiore o su quello superiore, tanto ottieni la stessa funzione, magari è meglio non metterli in entrambi, ma non è un errore grave.
I tre intervalli sono:
$x<0$
$0
gli uguale in 0 e 1 li metti dove vuoi, o sull'intervallo inferiore o su quello superiore, tanto ottieni la stessa funzione, magari è meglio non metterli in entrambi, ma non è un errore grave.
Prendiamo ad esempio il caso per $x <=0$ la funzione e' togliendo il valore assoluto $f (x)=sqrt (1-x)/e^(-x)$, da cui risulta $lim_(x->0^-)f (x)=1$;
Se prendiamo il caso $0 <=x <=1$, la funzione togliendo il valore assoluto è $f (x)=sqrt (1-x)/e^x $, da cui risulta $lim_(x->0+)f (x)=1$, essendo in $0$ il limite sinistro coincidente con il limite destro, la funzione quindi è ben definita e continua in tale punto!
Con analogo ragionamento si vede che è continua anche nel punto $x=1$,
Diverso invece come visto in precedenza per la funzione derivata, in questi punti $0$ ,ed $1$, abbiamo delle discontinuita' che portano tali punti ad essere angolosi.
Inoltre si può osservare che nell'intervallo $]1,+infty] $, la funzione essendo continua e derivabile, ha almeno un massimo, in quanto a partire dal punto $x=1$ sicuramente è crescente per poi decrescere da un certo punto in avanti asintoticamente rispetto all'asse delle $x $, difatti la funzione in quel intervallo vale $sqrt (x-1)/e^x $, la cui derivata è $(3-2x)/(2sqrt (x-1) $, che si annulla unicamente per $x=3/2$ $ in $ $[1,+infty] $, negli altri intervalli le rispettive derivate si annullano per valori che sono al di fuori dei loro intervalli di definizione, quindi direi con certezza che la funzione ha solo un punto di massimo nell'intervallo $[1,+infty] $.
Se prendiamo il caso $0 <=x <=1$, la funzione togliendo il valore assoluto è $f (x)=sqrt (1-x)/e^x $, da cui risulta $lim_(x->0+)f (x)=1$, essendo in $0$ il limite sinistro coincidente con il limite destro, la funzione quindi è ben definita e continua in tale punto!
Con analogo ragionamento si vede che è continua anche nel punto $x=1$,
Diverso invece come visto in precedenza per la funzione derivata, in questi punti $0$ ,ed $1$, abbiamo delle discontinuita' che portano tali punti ad essere angolosi.
Inoltre si può osservare che nell'intervallo $]1,+infty] $, la funzione essendo continua e derivabile, ha almeno un massimo, in quanto a partire dal punto $x=1$ sicuramente è crescente per poi decrescere da un certo punto in avanti asintoticamente rispetto all'asse delle $x $, difatti la funzione in quel intervallo vale $sqrt (x-1)/e^x $, la cui derivata è $(3-2x)/(2sqrt (x-1) $, che si annulla unicamente per $x=3/2$ $ in $ $[1,+infty] $, negli altri intervalli le rispettive derivate si annullano per valori che sono al di fuori dei loro intervalli di definizione, quindi direi con certezza che la funzione ha solo un punto di massimo nell'intervallo $[1,+infty] $.
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