Studio di funzione
Salve a tutti, ho la seguente funzione:
\(\displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1}) \)
Dominio:
\(\displaystyle x \neq -1 \)
\(\displaystyle Dom f = {\forall x \epsilon \mathbb{R}} \setminus \left \{ -1 \right \} \)
\(\displaystyle ]-\infty ,-1[ \ U \ ]-1,+\infty[ \)
Studio del segno della funzione:
\(\displaystyle f(x)\geqslant 0 \)
\(\displaystyle \arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})\geqslant 0 \)
L'arcontan a valori in: \(\displaystyle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \)
Quindi per essere l'arcontan positiva, il suo argomento deve essere positivo.
Quindi:
\(\displaystyle (\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})\geqslant 0 \)
Il numeratore è sempre \(\displaystyle \geqslant 0 \), per la radice.
Il denominatore, \(\displaystyle x+1>0 \), \(\displaystyle x>-1 \).
Quindi è positiva, per \(\displaystyle x>-1 \).
Quindi è negativa, per \(\displaystyle x<-1 \).
Limiti agli estremi del dominio:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-1^-}\arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})=
\lim_{x\rightarrow-1^-}\arctan(\frac{\sqrt{3^-}}{0^-})=
\lim_{x\rightarrow-1^-}\arctan(-\infty)=-\frac{\pi}{2} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-1^+}\arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})=
\lim_{x\rightarrow-1^+}\arctan(\frac{\sqrt{3^+}}{0^+})=
\lim_{x\rightarrow-1^+}\arctan(-\infty)=\frac{\pi}{2} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty }\arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})=
\lim_{x\rightarrow-\infty }\arctan(\frac{|x|\sqrt{|\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}|}}{x(1+\frac{1}{x})})=
\lim_{x\rightarrow-\infty }\arctan(0)=0 \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty }\arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})=
\lim_{x\rightarrow+\infty }\arctan(\frac{|x|\sqrt{|\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}|}}{x(1+\frac{1}{x})})=
\lim_{x\rightarrow+\infty }\arctan(0)=0 \)
Asintoto orrizontale Retta \(\displaystyle y=y_{0} \)
Volevo sapere se per il momento i passaggi sono corretti, fino a questo passaggio, se non sto dimenticando nulla o sbagliando qualcosa? Oppure se nel modo di scrivere, debbo sistemare qualcosa.
Pensavo che per studiare la derivata prima, avendo la funzione il valore assoluto, divido la funzione in due parti:
\(\displaystyle f(x)=\begin{equation}
\begin{cases}
\arctan(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}),x\geqslant 2\\
\arctan(\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}),x<2, x \ \neq -1
\end{cases}
\end{equation} \)
È giusto fare in questo modo, oppure no?
\(\displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}) \)
Derivata:
\(\displaystyle \frac{1}{1+\frac{x-2}{(x+1)^2}}\frac{\frac{(x+1)}{2\sqrt{x-2}}-\sqrt{x-2}}{(x+1)^2}=
\frac{1}{\frac{x^2+3x-1}{(x+1)^2}}\frac{\frac{5-x}{2\sqrt{x-2}}}{(x+1)^2}=
\frac{(x+1)^2}{x^2+3x-1}\frac{\frac{5-x}{2\sqrt{x-2}}}{(x+1)^2}=
\frac{5-x}{2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1)} \)
\(\displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}) \)
Derivata:
\(\displaystyle \frac{1}{1+\frac{2-x}{(x+1)^2}}\frac{\frac{(-1)(x+1)}{2\sqrt{2-x}}-\sqrt{2-x}}{(x+1)^2}=
\frac{1}{\frac{x^2+x+3}{(x+1)^2}}\frac{\frac{x-5}{2\sqrt{2-x}}}{(x+1)^2}=
\frac{(x+1)^2}{x^2+x+3}\frac{\frac{x-5}{2\sqrt{2-x}}}{(x+1)^2}=
\frac{x-5}{2\sqrt{2-x}(x^2+x+3)} \)
x=2?
\(\displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1}) \)
Dominio:
\(\displaystyle x \neq -1 \)
\(\displaystyle Dom f = {\forall x \epsilon \mathbb{R}} \setminus \left \{ -1 \right \} \)
\(\displaystyle ]-\infty ,-1[ \ U \ ]-1,+\infty[ \)
Studio del segno della funzione:
\(\displaystyle f(x)\geqslant 0 \)
\(\displaystyle \arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})\geqslant 0 \)
L'arcontan a valori in: \(\displaystyle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \)
Quindi per essere l'arcontan positiva, il suo argomento deve essere positivo.
Quindi:
\(\displaystyle (\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})\geqslant 0 \)
Il numeratore è sempre \(\displaystyle \geqslant 0 \), per la radice.
Il denominatore, \(\displaystyle x+1>0 \), \(\displaystyle x>-1 \).
Quindi è positiva, per \(\displaystyle x>-1 \).
Quindi è negativa, per \(\displaystyle x<-1 \).
Limiti agli estremi del dominio:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-1^-}\arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})=
\lim_{x\rightarrow-1^-}\arctan(\frac{\sqrt{3^-}}{0^-})=
\lim_{x\rightarrow-1^-}\arctan(-\infty)=-\frac{\pi}{2} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-1^+}\arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})=
\lim_{x\rightarrow-1^+}\arctan(\frac{\sqrt{3^+}}{0^+})=
\lim_{x\rightarrow-1^+}\arctan(-\infty)=\frac{\pi}{2} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty }\arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})=
\lim_{x\rightarrow-\infty }\arctan(\frac{|x|\sqrt{|\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}|}}{x(1+\frac{1}{x})})=
\lim_{x\rightarrow-\infty }\arctan(0)=0 \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty }\arctan(\frac{\sqrt{|x-2|}}{x+1})=
\lim_{x\rightarrow+\infty }\arctan(\frac{|x|\sqrt{|\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}|}}{x(1+\frac{1}{x})})=
\lim_{x\rightarrow+\infty }\arctan(0)=0 \)
Asintoto orrizontale Retta \(\displaystyle y=y_{0} \)
Volevo sapere se per il momento i passaggi sono corretti, fino a questo passaggio, se non sto dimenticando nulla o sbagliando qualcosa? Oppure se nel modo di scrivere, debbo sistemare qualcosa.
Pensavo che per studiare la derivata prima, avendo la funzione il valore assoluto, divido la funzione in due parti:
\(\displaystyle f(x)=\begin{equation}
\begin{cases}
\arctan(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}),x\geqslant 2\\
\arctan(\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}),x<2, x \ \neq -1
\end{cases}
\end{equation} \)
È giusto fare in questo modo, oppure no?
\(\displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}) \)
Derivata:
\(\displaystyle \frac{1}{1+\frac{x-2}{(x+1)^2}}\frac{\frac{(x+1)}{2\sqrt{x-2}}-\sqrt{x-2}}{(x+1)^2}=
\frac{1}{\frac{x^2+3x-1}{(x+1)^2}}\frac{\frac{5-x}{2\sqrt{x-2}}}{(x+1)^2}=
\frac{(x+1)^2}{x^2+3x-1}\frac{\frac{5-x}{2\sqrt{x-2}}}{(x+1)^2}=
\frac{5-x}{2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1)} \)
\(\displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}) \)
Derivata:
\(\displaystyle \frac{1}{1+\frac{2-x}{(x+1)^2}}\frac{\frac{(-1)(x+1)}{2\sqrt{2-x}}-\sqrt{2-x}}{(x+1)^2}=
\frac{1}{\frac{x^2+x+3}{(x+1)^2}}\frac{\frac{x-5}{2\sqrt{2-x}}}{(x+1)^2}=
\frac{(x+1)^2}{x^2+x+3}\frac{\frac{x-5}{2\sqrt{2-x}}}{(x+1)^2}=
\frac{x-5}{2\sqrt{2-x}(x^2+x+3)} \)
x=2?
Risposte
Allora i conti sono tutti giusti e si quello di sviluppare il valore assoluto per fare le derivate è a mio avviso il modo più corretto di procedere.
Dal punto di vista formale i limiti non sono scritti in maniera rigorosamente corretta, nel senso che non dovresti scrivere infiniti e divisioni per zero all'interno dei limiti ma scrivere direttamente il risultato, però va bene anche così dipende un po' da cosa vuole il tuo professore... l'unica cosa che devi specificare è che hai due asintoti orizzontali (a $+\infty$ e a $-\infty$) e che la retta è $y=0$ e non $y=y_0$ perché chi sarebbe $y_0$?! ma penso fosse un refuso.
Dal punto di vista formale i limiti non sono scritti in maniera rigorosamente corretta, nel senso che non dovresti scrivere infiniti e divisioni per zero all'interno dei limiti ma scrivere direttamente il risultato, però va bene anche così dipende un po' da cosa vuole il tuo professore... l'unica cosa che devi specificare è che hai due asintoti orizzontali (a $+\infty$ e a $-\infty$) e che la retta è $y=0$ e non $y=y_0$ perché chi sarebbe $y_0$?! ma penso fosse un refuso.
In tanto ti ringrazio di aver risposto.
Posso chiederti di fammi un esempio, non ho ben capito.
Giusto, quindi:
Asintoto orizzontale Retta y=0.
Ora per studiare il segno della derivata prima, debbo fare cosi giusto?
1)\( \displaystyle \frac{5-x}{2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1)} \geqslant 0 \)
2)\( \displaystyle \frac{x-5}{2\sqrt{2-x}(x^2+x+3)} \geqslant 0 \)
"Bossmer":
Dal punto di vista formale i limiti non sono scritti in maniera rigorosamente corretta, nel senso che non dovresti scrivere infiniti e divisioni per zero all'interno dei limiti ma scrivere direttamente il risultato..
Posso chiederti di fammi un esempio, non ho ben capito.
Giusto, quindi:
Asintoto orizzontale Retta y=0.
Ora per studiare il segno della derivata prima, debbo fare cosi giusto?
1)\( \displaystyle \frac{5-x}{2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1)} \geqslant 0 \)
2)\( \displaystyle \frac{x-5}{2\sqrt{2-x}(x^2+x+3)} \geqslant 0 \)
Si esatto.
Beh ad esempio per il primo limite potevi fare in due modi o saltando i passaggi:
$$
\lim_{x\to −1−}\arctan\left(\frac{\sqrt{|x−2|}}{x+1}\right)=−\frac \pi 2
$$
Cosa che consiglio vivamente. I passaggi che hai fatto tu, sono corretti dal punto di vista logico(quindi gli esercizi si fanno così) però non essendo formalmente corretti di solito si omettono, in particolare dal punto di vista formale, puoi sostituire i risultati dei limiti come hai fatto tu solo quando non hai infinito o zero a denominatore, nel tuo caso potevi solo scrivere il passaggio dove mettevi la radice di $3$.
Cioè potevi scrivere:
$$
\lim_{x\to −1^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{|x−2|}}{x+1}\right)=\lim_{x\to −1^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}^-}{x+1}\right)=−\frac \pi 2
$$
Se invece(cosa che sconsiglio) vuoi assolutamente scrivere tutti i passaggi logici che fai, allora devi fare delle sostituzioni, cioè il limite che hai svolto scritto con tutti i passaggi formalmente corretti diventa:
$$
\lim_{x\to −1^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{|x−2|}}{x+1}\right)=\lim_{x\to −1^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}^-}{x+1}\right)=\lim_{k\to 0^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}^-}{k}\right)=\lim_{t\to −\infty}\arctan\left(t\right)=−\frac \pi 2
$$
Così è formalmente corretto, anche se praticamente non è cambiato nulla da quello che hai scritto tu.
Beh ad esempio per il primo limite potevi fare in due modi o saltando i passaggi:
$$
\lim_{x\to −1−}\arctan\left(\frac{\sqrt{|x−2|}}{x+1}\right)=−\frac \pi 2
$$
Cosa che consiglio vivamente. I passaggi che hai fatto tu, sono corretti dal punto di vista logico(quindi gli esercizi si fanno così) però non essendo formalmente corretti di solito si omettono, in particolare dal punto di vista formale, puoi sostituire i risultati dei limiti come hai fatto tu solo quando non hai infinito o zero a denominatore, nel tuo caso potevi solo scrivere il passaggio dove mettevi la radice di $3$.
Cioè potevi scrivere:
$$
\lim_{x\to −1^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{|x−2|}}{x+1}\right)=\lim_{x\to −1^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}^-}{x+1}\right)=−\frac \pi 2
$$
Se invece(cosa che sconsiglio) vuoi assolutamente scrivere tutti i passaggi logici che fai, allora devi fare delle sostituzioni, cioè il limite che hai svolto scritto con tutti i passaggi formalmente corretti diventa:
$$
\lim_{x\to −1^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{|x−2|}}{x+1}\right)=\lim_{x\to −1^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}^-}{x+1}\right)=\lim_{k\to 0^−}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}^-}{k}\right)=\lim_{t\to −\infty}\arctan\left(t\right)=−\frac \pi 2
$$
Così è formalmente corretto, anche se praticamente non è cambiato nulla da quello che hai scritto tu.
1)\( \displaystyle \frac{5-x}{2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1)} \geqslant 0 \)
Numeratore: \( \displaystyle 5-x \geqslant 0 \), \( \displaystyle x \leq 5 \).
Denominatore: \( \displaystyle 2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1) > 0 \)
\( \displaystyle (x^2+3x-1) > 0 \)
\( \displaystyle \Delta = 9-4(-1)=9+4=13 \),
\(\displaystyle x=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2} \)
\(\displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \) e \(\displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
Ora qui mi viene un dubbio, la radice è sempre positiva, ma debbo studiarla lo stesso oppure no?
\( \displaystyle 2\sqrt{x-2} > 0 \), \( \displaystyle \sqrt{x-2} > 0 \), \( \displaystyle x-2 > 0 \), \( \displaystyle x>2 \)
Non sono molto convinto.
Numeratore: \( \displaystyle 5-x \geqslant 0 \), \( \displaystyle x \leq 5 \).
Denominatore: \( \displaystyle 2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1) > 0 \)
\( \displaystyle (x^2+3x-1) > 0 \)
\( \displaystyle \Delta = 9-4(-1)=9+4=13 \),
\(\displaystyle x=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2} \)
\(\displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \) e \(\displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
Ora qui mi viene un dubbio, la radice è sempre positiva, ma debbo studiarla lo stesso oppure no?
\( \displaystyle 2\sqrt{x-2} > 0 \), \( \displaystyle \sqrt{x-2} > 0 \), \( \displaystyle x-2 > 0 \), \( \displaystyle x>2 \)
Non sono molto convinto.
No l'hai detto anche tu è sempre positiva... se la studi ottieni quello che hai già detto... ovvero che è sempre positiva quindi non altera il prodotto dei segni mai...
La radice è positiva>0, se \( \displaystyle x>2 \), giusto?
Ho:
\( \displaystyle x \leq 5 \)
\( \displaystyle x>2 \)
\( \displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle f(x)=\begin{equation} \begin{cases} \arctan(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}),x\geqslant 2\\ \arctan(\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}),x<2, x \ \neq -1 \end{cases} \end{equation} \)
La prima vale per: \(\displaystyle x\geqslant 2 \)
Quindi posso escludere:
\( \displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
Giusto?
Quindi mi rimane:
\( \displaystyle x \leq 5 \)
\( \displaystyle x>2 \)
La derivata prima è positiva in: \( \displaystyle 2
Per x=5, non ho un punto di minimo?
Ho:
\( \displaystyle x \leq 5 \)
\( \displaystyle x>2 \)
\( \displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle f(x)=\begin{equation} \begin{cases} \arctan(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}),x\geqslant 2\\ \arctan(\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}),x<2, x \ \neq -1 \end{cases} \end{equation} \)
La prima vale per: \(\displaystyle x\geqslant 2 \)
Quindi posso escludere:
\( \displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
Giusto?
Quindi mi rimane:
\( \displaystyle x \leq 5 \)
\( \displaystyle x>2 \)
La derivata prima è positiva in: \( \displaystyle 2
Per x=5, non ho un punto di minimo?
No hai un punto di massimo... se la derivata prima è positiva tra 2 e 5 vuol dire che la funzione cresce fra 2 e 5 e poi decresce dopo il 5 perché la derivata è negativa...
"Bossmer":
No hai un punto di massimo... se la derivata prima è positiva tra 2 e 5 vuol dire che la funzione cresce fra 2 e 5 e poi decresce dopo il 5 perché la derivata è negativa...
Guardando su wolframalpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(5-x)%2F(2(x-2)%5E(1%2F2)(x%5E2%2B3x-1))%3E0
La funzione è decrescente, anche in 2 e 5.
P.S.
Le affermazioni che ho fatto prima sono sbagliate?
non guardare Wolfram, in 5 c'è un massimo, PUNTO.
Però se non sei convinto puoi sempre pagare wolfram per farti ingrandire l'immagine su $x=5$ per scoprire che li c'è un massimo.
non ti affidare ciecamente a Wolfram, è una stupida macchina, che spesso sbaglia, e a volte i disegni possono trarre in inganno per questioni di scala...
Piuttosto se vuoi un software che ti disegni le funzioni puoi sempre scaricarti Microsof Mathematics
https://www.microsoft.com/it-it/downloa ... x?id=15702
Almeno qui puoi ingrandire
Però se non sei convinto puoi sempre pagare wolfram per farti ingrandire l'immagine su $x=5$ per scoprire che li c'è un massimo.
non ti affidare ciecamente a Wolfram, è una stupida macchina, che spesso sbaglia, e a volte i disegni possono trarre in inganno per questioni di scala...
Piuttosto se vuoi un software che ti disegni le funzioni puoi sempre scaricarti Microsof Mathematics
https://www.microsoft.com/it-it/downloa ... x?id=15702
Almeno qui puoi ingrandire
Più cosi non riesco a zoomare. 
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B%7B(5+-+x)%2F(2+Sqrt%5B-2+%2B+x%5D+(-1+%2B+3+x+%2B+x%5E2)),+0%7D,+%7Bx,+4.9,+5.1%7D%5D
Negli intervalli in cui la derivata è positiva la funzione f(x) è crescente, negli intervalli in cui la derivata è negativa la funzione f(x) è decrescente.
Giusto?
Dal grafico di wolframalpha da 2 a 5:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B%7B(5+-+x)%2F(2+Sqrt%5B-2+%2B+x%5D+(-1+%2B+3+x+%2B+x%5E2)),+0%7D,+%7Bx,+2,+5.1%7D%5D
Mostra si che la funzione è positiva ma decrescente, quindi wolframalpha sta sbagliando, giusto?
Edit: Ho provato il programma che dicevi tu, ho ottenuto lo stesso grafico.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B%7B(5+-+x)%2F(2+Sqrt%5B-2+%2B+x%5D+(-1+%2B+3+x+%2B+x%5E2)),+0%7D,+%7Bx,+4.9,+5.1%7D%5D
Negli intervalli in cui la derivata è positiva la funzione f(x) è crescente, negli intervalli in cui la derivata è negativa la funzione f(x) è decrescente.
Giusto?
Dal grafico di wolframalpha da 2 a 5:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B%7B(5+-+x)%2F(2+Sqrt%5B-2+%2B+x%5D+(-1+%2B+3+x+%2B+x%5E2)),+0%7D,+%7Bx,+2,+5.1%7D%5D
Mostra si che la funzione è positiva ma decrescente, quindi wolframalpha sta sbagliando, giusto?
Edit: Ho provato il programma che dicevi tu, ho ottenuto lo stesso grafico.
Wow, non sapevo si potesse zoomare senza pagare XD
Comunque devi zoomare la funzione non la sua derivata, la derivata a te interessa solo quando è positiva e quando è negativa... e wolfram ti dice che è positiva per $x<5$ e negativa per $x>5$ quindi se ingrandisci la funzione (NON LA DERIVATA) avrai che la funzione ha un massimo in 5...
Penso in ogni caso tu abbia le idee estremamente confuse sullo studio di funzione... Secondo me dovresti leggere un libro di analisi, perché meccanicamente l'esercizio lo sai fare... però non hai molta idea di quello che stai facendo e perché...
Comunque devi zoomare la funzione non la sua derivata, la derivata a te interessa solo quando è positiva e quando è negativa... e wolfram ti dice che è positiva per $x<5$ e negativa per $x>5$ quindi se ingrandisci la funzione (NON LA DERIVATA) avrai che la funzione ha un massimo in 5...
Penso in ogni caso tu abbia le idee estremamente confuse sullo studio di funzione... Secondo me dovresti leggere un libro di analisi, perché meccanicamente l'esercizio lo sai fare... però non hai molta idea di quello che stai facendo e perché...
Ti ringrazio della tua assistenza.
Capito, allora ricapitolando.
Prima funzione:
\( \displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}),x\geqslant 2 \)
Derivata prima:
\( \displaystyle \frac{5-x}{2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1)} \geqslant 0 \)
Numeratore: \( \displaystyle 5-x \geqslant 0 \), \( \displaystyle x \leq 5 \).
Denominatore: \( \displaystyle 2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1) > 0 \)
\( \displaystyle 2\sqrt{x-2} > 0 \), \( \displaystyle \sqrt{x-2} > 0 \), \( \displaystyle x-2 > 0 \), \( \displaystyle x>2 \)
\( \displaystyle (x^2+3x-1) > 0 \)
\( \displaystyle \Delta = 9-4(-1)=9+4=13 \),
\(\displaystyle x=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2} \)
\(\displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \) e \(\displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
\( \displaystyle x \leq 5 \)
\( \displaystyle x>2 \)
\( \displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
La prima funzione vale per: \(\displaystyle x\geqslant 2 \)
Quindi posso escludere:
\( \displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
Giusto??
Quindi mi rimane:
\( \displaystyle x \leq 5 \)
\( \displaystyle x>2 \)
La derivata prima è positiva in: \( \displaystyle 2
Per x=5, ho un punto di massimo.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seconda funzione:
\( \displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}),x<2, x \ \neq -1 \)
Derivata prima:
\( \displaystyle \frac{x-5}{2\sqrt{2-x}(x^2+x+3)} \geqslant 0 \)
Numeratore: \( \displaystyle x-5 \geqslant 0 \), \( \displaystyle x\geq 5 \).
Denominatore: \( \displaystyle 2\sqrt{2-x}(x^2+x+3) > 0 \)
\( \displaystyle 2\sqrt{2-x} > 0 \), \( \displaystyle \sqrt{2-x} > 0 \), \( \displaystyle 2-x > 0 \), \( \displaystyle x<2 \)
\( \displaystyle (x^2+x+3) > 0 \)
\( \displaystyle \Delta = 1-4(3)=1-12=-11 \), delta negativo quindi per ogni \(\displaystyle \epsilon x \in \Re \)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
\( \displaystyle x \geq 5 \)
\( \displaystyle x<2 \)
La derivata prima è positiva in: \( \displaystyle 2
La seconda funzione vale per: \(\displaystyle x<2 \), quindi la funzione è decrescente.
Per x=2, potrebbe essere un punto di minimo?
Dimmi tutto ciò che ho sbagliato finora.
Capito, allora ricapitolando.
Prima funzione:
\( \displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}),x\geqslant 2 \)
Derivata prima:
\( \displaystyle \frac{5-x}{2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1)} \geqslant 0 \)
Numeratore: \( \displaystyle 5-x \geqslant 0 \), \( \displaystyle x \leq 5 \).
Denominatore: \( \displaystyle 2\sqrt{x-2}(x^2+3x-1) > 0 \)
\( \displaystyle 2\sqrt{x-2} > 0 \), \( \displaystyle \sqrt{x-2} > 0 \), \( \displaystyle x-2 > 0 \), \( \displaystyle x>2 \)
\( \displaystyle (x^2+3x-1) > 0 \)
\( \displaystyle \Delta = 9-4(-1)=9+4=13 \),
\(\displaystyle x=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2} \)
\(\displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \) e \(\displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
\( \displaystyle x \leq 5 \)
\( \displaystyle x>2 \)
\( \displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
La prima funzione vale per: \(\displaystyle x\geqslant 2 \)
Quindi posso escludere:
\( \displaystyle x<\frac{-3- \sqrt{13}}{2} \)
\( \displaystyle x>\frac{-3+ \sqrt{13}}{2} \)
Giusto??
Quindi mi rimane:
\( \displaystyle x \leq 5 \)
\( \displaystyle x>2 \)
La derivata prima è positiva in: \( \displaystyle 2
Per x=5, ho un punto di massimo.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Seconda funzione:
\( \displaystyle f(x)= \arctan(\frac{\sqrt{2-x}}{x+1}),x<2, x \ \neq -1 \)
Derivata prima:
\( \displaystyle \frac{x-5}{2\sqrt{2-x}(x^2+x+3)} \geqslant 0 \)
Numeratore: \( \displaystyle x-5 \geqslant 0 \), \( \displaystyle x\geq 5 \).
Denominatore: \( \displaystyle 2\sqrt{2-x}(x^2+x+3) > 0 \)
\( \displaystyle 2\sqrt{2-x} > 0 \), \( \displaystyle \sqrt{2-x} > 0 \), \( \displaystyle 2-x > 0 \), \( \displaystyle x<2 \)
\( \displaystyle (x^2+x+3) > 0 \)
\( \displaystyle \Delta = 1-4(3)=1-12=-11 \), delta negativo quindi per ogni \(\displaystyle \epsilon x \in \Re \)
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\( \displaystyle x \geq 5 \)
\( \displaystyle x<2 \)
La derivata prima è positiva in: \( \displaystyle 2
La seconda funzione vale per: \(\displaystyle x<2 \), quindi la funzione è decrescente.
Per x=2, potrebbe essere un punto di minimo?
Dimmi tutto ciò che ho sbagliato finora.
Si in due ha chiaramente un punto di minimo, perché lei è decrescente da meno infinito a 2 poi cresce fino a 5 e poi decresce per sempre... Ora però dovresti calcolare le derivata destra e sinistra in 2 per vedere se in 2 la funzione è derivabile e se non lo fosse devi capire che tipo di minimo hai (cuspide o punto angoloso)... lo puoi fare o facendo il limite destro e sinistro della derivata oppure applicando la definizione di derivata destra e sinistra (quest'ultimo modo è consigliabile perché il primo modo non è sempre valido).
"Bossmer":
Ora però dovresti calcolare le derivata destra e sinistra in 2 per vedere se in 2 la funzione è derivabile e se non lo fosse devi capire che tipo di minimo hai (cuspide o punto angoloso)... lo puoi fare o facendo il limite destro e sinistro della derivata oppure applicando la definizione di derivata destra e sinistra (quest'ultimo modo è consigliabile perché il primo modo non è sempre valido).
quest'ultimo modo è consigliabile perché il primo modo non è sempre valido, posso chiederti il motivo?
In cosa consiste la differenza tra i due modi?
Il primo modo si basa su un teorema che dice che se esiste finito il limite destro(o sinistro) della derivata prima di $f$ in un certo punto $x_0$ allora $f'(x_0)$ è uguale al valore del limite, Se però il limite non esiste o non è finito allora non puoi scoprire il valore della derivata destra(o sinistra) nel punto facendo il limite della derivata, ma puoi scoprirlo solo applicando la definizione di derivata destra (o sinistra) nel punto.
Ti consiglio vivamente in ogni caso di prendere un libro di analisi 1 e leggerlo da cima a fondo.
Ad esempio Il libro "Analisi Matematica" di Paolo Maurizio Soardi (come unico autore), e leggere come minimo da cima a fondo più volte i capitoli 6,7 e 8 (saltando al massimo le appendici).
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