Studio di funzione
Salve a tutti, innanzi tutto ringrazio tutti quelli che dedicano al forum parte del loro tempo, grazie a loro sto crescendo parecchio e spero di crescere ancora!
Detto ciò, avrei bisogno di qualche dritta su questo esercizio, e in generale su questa tipologia di esercizi.
L'esercizio recita:
"Per ogni $a\in RR$ sia $f_a:RR \to RR$ la funzione definita nel modo seguente $f_a(x)={ ( a-log(1+x^4) per x<0 ),( (ax)/(1+x) per x>=0):}$
Quali delle seguenti affermazioni è falsa?"
(a) esistono infiniti valori di $a\in RR$ per cui $f_a$ è iniettiva;
(b) non esistono valori di $a\in RR$ per cui $f_a$ è derivabile in $RR$;
(c) esistono infiniti valori di $a\in RR$ per cui l'equazione $f_a(x)=1/2$ ha più di una soluzione;
(d) esistono valori di $a\in RR$ per cui il grafico di $f_a$ è privo di punti di flesso.
Allora, io ho fatto questo:
Mi sono accertato che la funzione sia definita in tutto $RR$. Fatto ciò ho verificato che la funzione è continua se e solo se $a=0$ in quanto il limite destro è $0$ mentre il limite sinistro è $a$. Ho verificato se la funzione ha asintoti e ne ha uno orizzontale destro pari ad $a$ (quindi nel caso in cui $a=0$, condizione che assicura la continuità, l'asintoto corrisponde con il semiasse positivo delle ascisse). Ho calcolato la derivata prima :
$f_a'(x)={ ( (-4x^3)/(1+x^4)per x<0),( a/(1+x)^2 per x>=0 ):}$ ma essendo $f_a$ derivabile $<=> a=0$ la derivata prima è nulla $\forall x>=0$.
[Ho così escluso la (b) dalle possibili risposte].
Ho calcolato la derivata seconda sinistra $f_a^(-)''(x)=-4(x^3+3x^2)/(1+x^4)^2$ ed ho visto che la funzione è convessa $\forall x<-3$, concava $\forall x> -3$ e presenta un punto di flesso in $-3$, non dipendente dal parametro $a$. Quindi posso già dire che la risposta corretta è la (d). Se volessi verificare le altre due risposte (la (a) e la (c)) come dovrei operare??
GRAZIE A TUTTI QUELLI CHE HANNO AVUTO LA PAZIENZA DI LEGGERE QUESTO POST !!
Detto ciò, avrei bisogno di qualche dritta su questo esercizio, e in generale su questa tipologia di esercizi.
L'esercizio recita:
"Per ogni $a\in RR$ sia $f_a:RR \to RR$ la funzione definita nel modo seguente $f_a(x)={ ( a-log(1+x^4) per x<0 ),( (ax)/(1+x) per x>=0):}$
Quali delle seguenti affermazioni è falsa?"
(a) esistono infiniti valori di $a\in RR$ per cui $f_a$ è iniettiva;
(b) non esistono valori di $a\in RR$ per cui $f_a$ è derivabile in $RR$;
(c) esistono infiniti valori di $a\in RR$ per cui l'equazione $f_a(x)=1/2$ ha più di una soluzione;
(d) esistono valori di $a\in RR$ per cui il grafico di $f_a$ è privo di punti di flesso.
Allora, io ho fatto questo:
Mi sono accertato che la funzione sia definita in tutto $RR$. Fatto ciò ho verificato che la funzione è continua se e solo se $a=0$ in quanto il limite destro è $0$ mentre il limite sinistro è $a$. Ho verificato se la funzione ha asintoti e ne ha uno orizzontale destro pari ad $a$ (quindi nel caso in cui $a=0$, condizione che assicura la continuità, l'asintoto corrisponde con il semiasse positivo delle ascisse). Ho calcolato la derivata prima :
$f_a'(x)={ ( (-4x^3)/(1+x^4)per x<0),( a/(1+x)^2 per x>=0 ):}$ ma essendo $f_a$ derivabile $<=> a=0$ la derivata prima è nulla $\forall x>=0$.
[Ho così escluso la (b) dalle possibili risposte].
Ho calcolato la derivata seconda sinistra $f_a^(-)''(x)=-4(x^3+3x^2)/(1+x^4)^2$ ed ho visto che la funzione è convessa $\forall x<-3$, concava $\forall x> -3$ e presenta un punto di flesso in $-3$, non dipendente dal parametro $a$. Quindi posso già dire che la risposta corretta è la (d). Se volessi verificare le altre due risposte (la (a) e la (c)) come dovrei operare??
GRAZIE A TUTTI QUELLI CHE HANNO AVUTO LA PAZIENZA DI LEGGERE QUESTO POST !!
Risposte
Ciao Caronte
Scusa ma non ho capito: se stai cercando la/e risposta/e falsa/e, hai appena dimostrato che la (b) lo è - esiste un valore di $a$ per cui $f_a$ è derivabile in $RR$, cioè non è vero che non esistono valori di $a in RR$ per cui $f_a$ sia derivabile in $RR$, quindi è falsa
"Caronte":
Quali delle seguenti affermazioni è falsa?"
(a) esistono infiniti valori di $a\in RR$ per cui $f_a$ è iniettiva;
(b) non esistono valori di $a\in RR$ per cui $f_a$ è derivabile in $RR$;
(c) esistono infiniti valori di $a\in RR$ per cui l'equazione $f_a(x)=1/2$ ha più di una soluzione;
(d) esistono valori di $a\in RR$ per cui il grafico di $f_a$ è privo di punti di flesso.
[...]
$f_a'(x)={ ( (-4x^3)/(1+x^4)per x<0),( a/(1+x)^2 per x>=0 ):}$ ma essendo $f_a$ derivabile $<=> a=0$ la derivata prima è nulla $\forall x>=0$.
[Ho così escluso la (b) dalle possibili risposte].
Scusa ma non ho capito: se stai cercando la/e risposta/e falsa/e, hai appena dimostrato che la (b) lo è - esiste un valore di $a$ per cui $f_a$ è derivabile in $RR$, cioè non è vero che non esistono valori di $a in RR$ per cui $f_a$ sia derivabile in $RR$, quindi è falsa
@Brancaleone Inizialmente anche a me aveva lasciato un po' perplesso la risposta (b) [già sapevo che la risposta era la (d)] allora ho pensato che la risposta mi dice che la funzione deve essere derivabile in $RR$ però in zero non è derivabile, perchè la derivata destra e sinistra sono diverse, essendo la derivata destra zero (perché la condizione di continuità mi impone $a=0$) mentre la derivata sinistra non può essere zero perchè $(-4x^3)/(1+x^4) =0 <=> x=0$ e questo non può essere perché quella legge di definizione è valida $\forall x<0$.
Dimmi se il mio ragionamento ti quadra.. Tu sei sicuramente più esperto di me!
Dimmi se il mio ragionamento ti quadra.. Tu sei sicuramente più esperto di me!
E' vero che la derivata della funzione nella parte negativa delle ascisse non è nulla, ma
cioè la funzione, per $a=0$, è continua e derivabile con continuità in tutto il dominio $RR$ - la funzione non presenta punti angolosi né è spezzata.
$lim_(x->0^-) -(4x^3)/(1+x^4)=0$
cioè la funzione, per $a=0$, è continua e derivabile con continuità in tutto il dominio $RR$ - la funzione non presenta punti angolosi né è spezzata.
Per tanto dici che al quesito ci sono due risposte corrette (ovvero due risposte false)?
Non ho controllato le opzioni (a) e (c), ma credo che le altre 2 siano false.
Intendevo la (b) e la (d).. Il quesito chiede di trovare quella falsa e lui indica come corretta la risposta (d).. pertanto a meno di altri errori, la (a) e la (c) dovrebbero essere vere
Allora è probabile che mi stia sbagliando: aspettiamo di sentire qualche altro utente 
Ti ringrazio per il tuo contributo! Aspettiamo 
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