Studio di funzione

[andreaparisi96]

Buonasera. E' data questa funzione $ f(x)= abs(log^2x-logx) $ e non riesco a comprenderla.

[quantunquemente]

in che senso non riesci a comprenderla ?

[adaBTTLS1]

$log^2 x=(log x)^2$
va meglio?

[andreaparisi96]

Proprio a livello grafico. Io ottengo un asintoto che va a +infinito per $ x->0 $ da destra e poi ottengo che la funzione è monotona crescente, cosa insensata, senza contare che il dominio è x>0 e che si hanno 2 intersezioni con l'asse x: $ x=1 e x=e $

[Lo_zio_Tom]

"a.parisi42":Proprio a livello grafico. Io ottengo un asintoto che va a +infinito per $ x->0 $ da destra e poi ottengo che la funzione è monotona crescente, cosa insensata, senza contare che il dominio è x>0 e che si hanno 2 intersezioni con l'asse x: $ x=1 e x=e $

è qui l'errore.....avrai sbagliato a calcolare la derivata....(che tra l'altro è semplicissima)

[Lo_zio_Tom]

intanto fai finta che il modulo non ci sia e studi

$y=log^2x-logx$

quando hai finito il grafico "ribalti" la parte negativa e stop....tanto il modulo racchiude tutta la funzione....

la derivata è immediata


$y'=2logx/x-1/x=(2logx-1)/x>0 rarr x>sqrt(e)$

quindi ha un minimo in $sqrt(e)$

avendo le radici in $x=1$ e $x=e$ in quel tratto è negativa.....alla fine ribalti il disegno nella parte positiva....fine dello studio

[Lo_zio_Tom]

giusto per terminarlo di guardi la concavità e, per scrupolo, l'esistenza di eventuale asintoto obliquo....

tempo totale impiegato: 42''

[andreaparisi96]

No la derivata l'ho calcolata bene. Il fatto è che non si può "far finta" in matematica che non ci sia un valore assoluto. Di fatti, se consideriamo la funzione definita a tratti, e ci calcoliamo la derivata della funzione definita a tratti, otteniamo che la funzione assume: $ f'(x)=(2logx-1)/x se x<1 oppure x>e $ e $f'(x)= (1-2logx)/x$ se $ 1 Se ci calcoliamo $ f'(x)>0$ per studiare la monotonia, viene che, da una parte, come giustamente hai detto tu, $ x>sqrt(e)$, MA dall'altra $x0$, ovvero $abs((2logx)/x-1/x)>0$ è sempre vera! (per ">" intendo sempre maggiore o uguale, dato che non so come scriverlo.

[axpgn]

Premesso che essendo TUTTA la funzione tra il valore assoluto puoi benissimo "far finta" che non esista e poi ribaltare la parte negativa (che è proprio quella tra $1$ e $e$).
Ora la derivata della funzione "senza" valore assoluto ha un minimo in $sqrt(e)$ che si trova in quell'intervallo perciò "ribaltandolo" diventa un massimo (locale) è già questo dovrebbe dirti che non è monotona ma vediamo algebricamente.
In $(0,1)$ la derivata è positiva per $x>sqrt(e)$ perciò in quel tratto (cioè $0 Nell'intervallo $(1,e)$ la derivata è la stessa ma di segno invertito perciò sarà positiva in $(1,sqrt(e))$ e negativa in $(sqrt(e),e)$ e quindi la funzione sarà crescente nel primo tratto e decrescente nel secondo.
Infine in $(e,+infty)$ sarà crescente per quanto detto.

Ok?

Cordialmente, Alex

[andreaparisi96]

ok ho capito grazie!