Studio di funzione
Salve, la funzione in questione è la seguente:
[tex]y=x^{2}+ln\frac{|x|}{x^{2}+6}[/tex]
1) calcolo del dominio ed eventuale simmetrie
Il dominio è definito da [tex]\frac{|x|}{x^{2}+6}[/tex]>0 ma avendo numeri positivi sia al numeratore che al denominatore il dominio è R.
Per quanti riguarda la simmetria direi che è pari visto che f(x)=f(-x)
2) Calcolare i limiti alla frontiera del dominio.
quindi a +00 e -00, ne calcolo solo uno vista la simmetria pari e a +00 il limite mi viene +00
3) equazioni di eventuali asintoti.
cerco un eventuale asintoto obliquo e faccio per x->+00 f(x)/x e mi viene +00 quindi non ha un asintotico obliquo.
4) Calcolare e studiare la derivata prima ed indicare eventuali massimi/minimi.
la derivata l'ho calcolata nel seguente modo anche se ho dei dubbi:
[tex]2x+\frac{x^{2}+6}{|x|}\frac{3|x|x+6|x|}{(x^{2}+6)^{2}}[/tex] e quindi :
[tex]2x+\frac{3|x|x+6|x|}{|x|(x^{2}+6)}[/tex]
a questo punto semplificherei il modulo diventando:
[tex]2x+\frac{3x+6}{(x^{2}+6)}[/tex]
ma per studiare il segno della derivata e quindi i punti di massimo e minimo mi verrebbe una disequazione con un x^3 al numeratore e quindi mi viene da pensare che sia sbagliato.
5) esistono massimi/minimi assoluti? motivare
No, perchè il grafico agli estremi tende a +00 (?)
[tex]y=x^{2}+ln\frac{|x|}{x^{2}+6}[/tex]
1) calcolo del dominio ed eventuale simmetrie
Il dominio è definito da [tex]\frac{|x|}{x^{2}+6}[/tex]>0 ma avendo numeri positivi sia al numeratore che al denominatore il dominio è R.
Per quanti riguarda la simmetria direi che è pari visto che f(x)=f(-x)
2) Calcolare i limiti alla frontiera del dominio.
quindi a +00 e -00, ne calcolo solo uno vista la simmetria pari e a +00 il limite mi viene +00
3) equazioni di eventuali asintoti.
cerco un eventuale asintoto obliquo e faccio per x->+00 f(x)/x e mi viene +00 quindi non ha un asintotico obliquo.
4) Calcolare e studiare la derivata prima ed indicare eventuali massimi/minimi.
la derivata l'ho calcolata nel seguente modo anche se ho dei dubbi:
[tex]2x+\frac{x^{2}+6}{|x|}\frac{3|x|x+6|x|}{(x^{2}+6)^{2}}[/tex] e quindi :
[tex]2x+\frac{3|x|x+6|x|}{|x|(x^{2}+6)}[/tex]
a questo punto semplificherei il modulo diventando:
[tex]2x+\frac{3x+6}{(x^{2}+6)}[/tex]
ma per studiare il segno della derivata e quindi i punti di massimo e minimo mi verrebbe una disequazione con un x^3 al numeratore e quindi mi viene da pensare che sia sbagliato.
5) esistono massimi/minimi assoluti? motivare
No, perchè il grafico agli estremi tende a +00 (?)
Risposte
ciao Norius
La funzione è pari, corretto
Ma il campo di esistenza e sbagliato non e $RR$ bensi $RR-(0)$ perche in $x=0$ il logaritmo nom e definito.
Però tieni conto che quando hai dei valori assoluti la funzione originale è sempre meglio dividerla in due, nel tuo caso
${(x^2+ln (x/(x^2+6)), x>0),(x^2+ln ((-x)/(x^2+6)), x<0):}$
quindi se studi la parte delle x positive puoi usare solo la prima (togliendo cioè banalmente il modulo)
Ricorda che devi fare anche il limite per $0+$ che non hai fatto
La derivata prima, considerata solo la prima delle due funzioni, mi viene (ma controlla perchè coi calcoli sono una schiappissima)
$y'=(2x^4+11x^2+6)/(x(x^2+6))$
da un rapido sguardo mi par di capire che il numeratore, equazione di quarto grado... non si annulla mai in campo reale.... infatti devi fare $2t^2+11t+6=0$ che ha due soluzioni reali ma negative... quindi nel momento in cui passi alle 4 soluzioni della equazione di 4 grado vedi che sono tutte e quattro non reali.
Questo significa che la derivata prima NON si annulla mai in campo reale... allora niente massimi-minimi... questa è la ragione, non quella che tu scrivi all'ultimo punto ok?
Ricorda bene: i punti a tangente orizzontale (massimi, minimi, flessi tg.orizz.) sono quelli in cui si annulla la derivata prima!!! se non si annulla... niente punti ok? vorrei fosse chiaro il concetto perchè al punto 5 scrivi una cosa senza senso
ti invito a proseguire anche con la derivata seconda... purtroppo potrebbe esserci un flesso... sarà dura ma provaci ti fai le ossa coi calcolacci!
ciao!
La funzione è pari, corretto
Ma il campo di esistenza e sbagliato non e $RR$ bensi $RR-(0)$ perche in $x=0$ il logaritmo nom e definito.
Però tieni conto che quando hai dei valori assoluti la funzione originale è sempre meglio dividerla in due, nel tuo caso
${(x^2+ln (x/(x^2+6)), x>0),(x^2+ln ((-x)/(x^2+6)), x<0):}$
quindi se studi la parte delle x positive puoi usare solo la prima (togliendo cioè banalmente il modulo)
Ricorda che devi fare anche il limite per $0+$ che non hai fatto
La derivata prima, considerata solo la prima delle due funzioni, mi viene (ma controlla perchè coi calcoli sono una schiappissima)
$y'=(2x^4+11x^2+6)/(x(x^2+6))$
da un rapido sguardo mi par di capire che il numeratore, equazione di quarto grado... non si annulla mai in campo reale.... infatti devi fare $2t^2+11t+6=0$ che ha due soluzioni reali ma negative... quindi nel momento in cui passi alle 4 soluzioni della equazione di 4 grado vedi che sono tutte e quattro non reali.
Questo significa che la derivata prima NON si annulla mai in campo reale... allora niente massimi-minimi... questa è la ragione, non quella che tu scrivi all'ultimo punto ok?
Ricorda bene: i punti a tangente orizzontale (massimi, minimi, flessi tg.orizz.) sono quelli in cui si annulla la derivata prima!!! se non si annulla... niente punti ok? vorrei fosse chiaro il concetto perchè al punto 5 scrivi una cosa senza senso
ti invito a proseguire anche con la derivata seconda... purtroppo potrebbe esserci un flesso... sarà dura ma provaci ti fai le ossa coi calcolacci!
ciao!
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